Вычисление значений тригонометрических функций

Конечно, давайте решим эти тригонометрические примеры.

1. \(\sqrt{3} \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

• Угол \(\frac{2\pi}{3}\) находится во второй четверти.
• Значение синуса для этого угла: \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

2. \(\sqrt{2} \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right)\)

• Угол \(-\frac{5\pi}{4}\) находится во второй четверти (вращение против часовой стрелки на \(2\pi\) и затем на \(\frac{3\pi}{4}\)).
• Синус — нечетная функция, поэтому \(\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\).
• Угол \(\frac{5\pi}{4}\) находится в третьей четверти, где синус отрицательный. \(\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
• Таким образом, \(\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Ответ: \(1\)

3. \(\sqrt{2} \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)\)

• Угол \(\frac{9\pi}{4}\) можно упростить, вычтя \(2\pi\): \(\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}\).
• Значит, \(\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
• \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Ответ: \(1\)

4. \(\sqrt{3} \cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)\)

• Угол \(-\frac{13\pi}{6}\) можно упростить, прибавив \(2\pi\) (или \(4\pi\)): \(-\frac{13\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}\).
• Косинус — четная функция, поэтому \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\).
• \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

5. \(2 \operatorname{tg}\left(-\frac{7\pi}{4}\right)\)

• Угол \(-\frac{7\pi}{4}\) можно упростить, прибавив \(2\pi\): \(-\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\).
• \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).
• \(2 \cdot 1 = 2\).

Ответ: \(2\)

6. \(\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right)\)

• Угол \(\frac{5\pi}{3}\) находится в четвертой четверти.
• \(\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
• \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\).
• Следовательно, \(\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\).
• \(\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3\).

Ответ: \(-3\)

Конечно, вот карточка с подобными заданиями для практики:

Карточка с заданиями: Вычисление тригонометрических функций

Инструкция: Вычислите значения следующих тригонометрических выражений.

1. \(\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\)

2. \(2 \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)

3. \(\sqrt{2} \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)

4. \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)\)

5. \(4 \sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\)

6. \(\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

7. \(\sqrt{2} \cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)\)

8. \(3 \sin\left(\frac{17\pi}{3}\right)\)

Подсказка: Для решения используйте знание значений тригонометрических функций для основных углов (\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\)) и свойства приведения к этим углам (периодичность, четность/нечетность, формулы приведения).

Да, конечно! Давайте решим каждое задание из карточки:

1. \(\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\)

• Значение \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

2. \(2 \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)

• Угол \(\frac{3\pi}{4}\) находится во второй четверти.
• Значение \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• \(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

Ответ: \(\sqrt{2}\)

3. \(\sqrt{2} \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)

• Тангенс — нечетная функция: \(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
• Значение \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).
• Следовательно, \(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\).
• \(\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}\).

Ответ: \(-\sqrt{2}\)

4. \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)\)

• Угол \(\frac{5\pi}{3}\) находится в четвертой четверти.
• \(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
• Значение \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).
• \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

5. \(4 \sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\)

• Синус — нечетная функция: \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\).
• Угол \(\frac{7\pi}{6}\) находится в третьей четверти.
• \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\).
• Значение \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).
• Следовательно, \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
• Итого: \(-\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\).
• \(4 \cdot \frac{1}{2} = 2\).

Ответ: \(2\)

6. \(\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

• Угол \(\frac{2\pi}{3}\) находится во второй четверти.
• \(\operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
• Значение \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\).
• Следовательно, \(\operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\).
• \(\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3\).

Ответ: \(-3\)

7. \(\sqrt{2} \cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)\)

• Упростим угол: \(\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}\).
• Значит, \(\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\).
• Угол \(\frac{3\pi}{4}\) находится во второй четверти.
• \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
• Значение \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• Следовательно, \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
• \(\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{2}{2} = -1\).

Ответ: \(-1\)

8. \(3 \sin\left(\frac{17\pi}{3}\right)\)

• Упростим угол: \(\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3}\).
• Значит, \(\sin\left(\frac{17\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).
• Синус — нечетная функция: \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
• Значение \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Следовательно, \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Отлично! Когда будете готовы, напишите мне ваши ответы, и я их проверю.

К сожалению, я не могу проверить ваше решение по фотографии, так как у меня нет возможности анализировать изображения, предоставленные пользователями.

Однако, вы можете написать ваши ответы здесь текстом, и я с удовольствием их проверю. Также, если вы хотите, чтобы я проверил определенный шаг или метод решения, вы можете описать его словами.

Спасибо за предоставленное изображение! Давайте проверим ваши решения по порядку:

1. \(\sqrt{3} \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\)

   • Ваше решение: \(\sqrt{3} \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
   • Комментарий: Вы правильно определили, что \(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\) можно привести к \(\sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right)\), а не \(\sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\). В первой четверти \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\) положителен, а во второй четверти \(\sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)\) тоже положителен. Однако, \(\frac{4\pi}{3}\) находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
   • Правильный ход: \(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
   • Тогда: \(\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} = -1.5\).
   • Ваш ответ: 1,5. Правильный ответ: -1,5.

2. \(\sqrt{2} \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right)\)

   • Ваше решение: \(-\sqrt{2} \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\).
   • Комментарий: Здесь вы правильно использовали свойство нечетности синуса. Угол \(\frac{5\pi}{4}\) находится в третьей четверти, где синус отрицателен. \(\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
   • Тогда: \(-\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{2} = 1\).
   • Ваш ответ: 1. Правильный ответ: 1.

3. \(\sqrt{2} \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)\)

   • Ваше решение: \(\sqrt{2} \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\).
   • Комментарий: Вы верно использовали периодичность косинуса. \(\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}\), поэтому \(\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
   • Ваш ответ: 1. Правильный ответ: 1.

4. \(\sqrt{3} \cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right)\)

   • Ваше решение: \(\sqrt{3} \cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
   • Комментарий: Вы правильно использовали свойство четности косинуса и периодичность. \(-\frac{13\pi}{6} = -2\pi - \frac{\pi}{6}\), поэтому \(\cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\).
   • Также, \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
   • Итого: \(\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
   • Ваш ответ: 1,5. Правильный ответ: 1,5.

5. \(2 \operatorname{tg}\left(-\frac{7\pi}{4}\right)\)

   • Ваше решение: \(-2 \operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -2 \operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = 2 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot 1 = 2\).
   • Комментарий: Вы правильно использовали свойство нечетности тангенса. Угол \(\frac{7\pi}{4}\) находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. \(\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1\).
   • Тогда: \(-2 \cdot (-1) = 2\).
   • Ваш ответ: 2. Правильный ответ: 2.

6. \(\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right)\)

   • Ваше решение: \(\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3\).
   • Комментарий: Вы верно привели угол \(\frac{5\pi}{3}\) к \(\frac{\pi}{3}\) через формулу приведения \(\operatorname{tg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)\). \(\frac{5\pi}{3}\) находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.
   • Ваш ответ: -3. Правильный ответ: -3.

Итог:

• Верно: Задания 2, 3, 4, 5, 6.
• Ошибка: Задание 1.

Вы отлично справились с большинством заданий! Небольшая ошибка в первом примере связана с определением четверти и знака тригонометрической функции.

Я не могу помочь с задачами на площадь цилиндра, так как у меня нет возможности анализировать изображения. Если вы можете предоставить условия задач текстом, я с радостью помогу вам с их решением.

Отлично! Давайте решим эти тригонометрические выражения. Я буду решать их по порядку, как они представлены на изображении, по одному столбику.

Левый столбик:

21. \(2\sqrt{2} \cos 0^\circ \cdot \sin (60^\circ)\)
* \(\cos 0^\circ = 1\)
* \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(2\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}\)

22. \(12\sqrt{2} \sin (-135^\circ) \cos 150^\circ\)
* \(\sin (-135^\circ) = \sin (180^\circ - 45^\circ) \times (-1) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) (или \(\sin(-135^\circ) = \sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\))
* \(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 12 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 12 \cdot (-1) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6\sqrt{3}\)

23. \(2\sqrt{3} \sin 150^\circ \cdot \operatorname{tg} 120^\circ\)
* \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
* \(\operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}\)
* \(2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3\)

24. \(13\sqrt{2} \sin 405^\circ \cdot \operatorname{ctg} 330^\circ\)
* \(\sin 405^\circ = \sin (360^\circ + 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(\operatorname{ctg} 330^\circ = \operatorname{ctg} (360^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}\)
* \(13\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = 13 \cdot \frac{2}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = 13 \cdot (-\sqrt{3}) = -13\sqrt{3}\)

25. \(3\sqrt{6} \operatorname{tg} 390^\circ \cdot \sin (-270^\circ)\)
* \(\operatorname{tg} 390^\circ = \operatorname{tg} (360^\circ + 30^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\sin (-270^\circ) = -\sin 270^\circ = -(-1) = 1\)
* \(3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

26. \(-\sqrt{30} \sin 30^\circ \cdot \cos 405^\circ\)
* \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
* \(\cos 405^\circ = \cos (360^\circ + 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(-\sqrt{30} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{60}}{4} = -\frac{2\sqrt{15}}{4} = -\frac{\sqrt{15}}{2}\)

27. \(\sqrt{96} \cos 45^\circ \cdot \operatorname{ctg} (-240^\circ)\)
* \(\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}\)
* \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(\operatorname{ctg} (-240^\circ) = -\operatorname{ctg} 240^\circ = -\operatorname{ctg} (180^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\sqrt{12} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{4 \cdot 3}{3} = -4\)

28. \(-12\sqrt{48} \operatorname{ctg} 480^\circ \cdot \operatorname{tg} (-60^\circ)\)
* \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
* \(\operatorname{ctg} 480^\circ = \operatorname{ctg} (360^\circ + 120^\circ) = \operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg} (180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\operatorname{tg} (-60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}\)
* \(-12 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = -48\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = 16\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -16 \cdot 3 = -48\)

29. \(\sqrt{12} \cos 300^\circ \cdot \sin (-180^\circ)\)
* \(\cos 300^\circ = \cos (360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
* \(\sin (-180^\circ) = -\sin 180^\circ = -0 = 0\)
* \(\sqrt{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\)

30. \(5\sqrt{3} \operatorname{ctg} (-135^\circ) \cdot \sin 240^\circ\)
* \(\operatorname{ctg} (-135^\circ) = -\operatorname{ctg} 135^\circ = -\operatorname{ctg} (180^\circ - 45^\circ) = -(-\operatorname{ctg} 45^\circ) = -(-1) = 1\)
* \(\sin 240^\circ = \sin (180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(5\sqrt{3} \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{5 \cdot 3}{2} = -\frac{15}{2} = -7.5\)

31. \(\sqrt{15} \operatorname{tg} 210^\circ \cdot \cos (-180^\circ)\)
* \(\operatorname{tg} 210^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\cos (-180^\circ) = \cos 180^\circ = -1\)
* \(\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{45}}{3} = -\frac{3\sqrt{5}}{3} = -\sqrt{5}\)

32. \(2\sqrt{3} \operatorname{tg} 300^\circ \cdot \sin (-90^\circ)\)
* \(\operatorname{tg} 300^\circ = \operatorname{tg} (360^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}\)
* \(\sin (-90^\circ) = -\sin 90^\circ = -1\)
* \(2\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot (-1) = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\)

33. \(-15 \sin (-90^\circ) \cdot \operatorname{ctg} 225^\circ\)
* \(\sin (-90^\circ) = -1\)
* \(\operatorname{ctg} 225^\circ = \operatorname{ctg} (180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg} 45^\circ = 1\)
* \(-15 \cdot (-1) \cdot 1 = 15\)

34. \(27\sqrt{2} \cos (-675^\circ) \cdot \operatorname{tg} 180^\circ\)
* \(\cos (-675^\circ) = \cos 675^\circ = \cos (720^\circ - 45^\circ) = \cos (-45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(\operatorname{tg} 180^\circ = 0\)
* \(27\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 = 0\)

35. \(6\sqrt{3} \cos 150^\circ \cdot \operatorname{tg} (-690^\circ)\)
* \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(\operatorname{tg} (-690^\circ) = -\operatorname{tg} 690^\circ = -\operatorname{tg} (720^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg} (-30^\circ) = -(-\operatorname{tg} 30^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(6\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3\)

36. \(\sqrt{27} \cos 495^\circ \cdot \operatorname{tg} 240^\circ\)
* \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
* \(\cos 495^\circ = \cos (360^\circ + 135^\circ) = \cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(\operatorname{tg} 240^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}\)
* \(3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sqrt{3} = -\frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}}{2} = -\frac{9\sqrt{2}}{2}\)

Правый столбик:

48. \(48\sqrt{2} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\)
* \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\)
* \(48\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) = 48 \cdot \frac{2}{2} \cdot (-1) = 48 \cdot (-1) = -48\)

49. \(-3 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{9\pi}{4}\right)\)
* \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(\operatorname{ctg}\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\)
* \(-3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)

50. \(50\sqrt{6} \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\)
* \(\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\)
* \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
* \(50\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} = -25\sqrt{18} = -25 \cdot 3\sqrt{2} = -75\sqrt{2}\)

51. \(11\sqrt{6} \sin\left(\frac{9\pi}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)
* \(\sin\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)
* \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(11\sqrt{6} \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{11\sqrt{12}}{2} = -\frac{11 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = -11\sqrt{3}\)

52. \(30\sqrt{6} \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)\)
* \(\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(30\sqrt{6} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -15\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = -15 \cdot \frac{6}{2} = -15 \cdot 3 = -45\)

53. \(18 \operatorname{tg}\left(-\frac{11\pi}{6}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{4}\right)\)
* \(\operatorname{tg}\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -(-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\)
* \(18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = 6\sqrt{3}\)

54. \(-\sqrt{6} \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)
* \(\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)
* \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\)
* \(-\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

55. \(12\sqrt{2} \cos\left(-\frac{22\pi}{6}\right) \operatorname{tg}(-19\pi)\)
* \(\cos\left(-\frac{22\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{11\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{3}\right) = \cos\left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)
* \(\operatorname{tg}(-19\pi) = \operatorname{tg}(0) = 0\) (так как \(19\pi\) - это целое число полуоборотов)
* \(12\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\)

56. \(\sqrt{15} \sin\left(-\frac{22\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\)
* \(\sin\left(-\frac{22\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{22\pi}{3}\right) = -\sin\left(7\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) (как в задаче 49)
* \(\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{15} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{15}}{4}\)

57. \(18\operatorname{ctg}\left(\frac{17\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right)\)
* \(\operatorname{ctg}\left(\frac{17\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\)
* \(\sin\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(18 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}\)

58. \(28\sqrt{6} \cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{29\pi}{3}\right)\)
* \(\cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
* \(\sin\left(-\frac{29\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{29\pi}{3}\right) = -\sin\left(10\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
* \(28\sqrt{6} \cdot 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0\)

59. \(2\sqrt{3} \operatorname{tg}\left(\frac{28\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)\)
* \(\operatorname{tg}\left(\frac{28\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(9\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)
* \(\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
* \(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3\)

60. \(-\sqrt{18} \operatorname{ctg}\left(\frac{13\pi}{3}\right) \cdot \operatorname{tg}(5\pi)\)
* \(-\sqrt{18} = -3\sqrt{2}\)
* \(\operatorname{ctg}\left(\frac{13\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(4\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\operatorname{tg}(5\pi) = \operatorname{tg}(0) = 0\)
* \(-3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0 = 0\)

61. \(10\sqrt{6} \cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{6}\right)\)
* \(\cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(3\pi + \frac{2\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) (либо \(\cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{3\pi}{4}\right)\) ??? Проще: \(\cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(4\pi - \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\))
* \(\operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\)
* \(10\sqrt{6} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{36} = 5 \cdot 6 = 30\)

62. \(36\sqrt{2} \operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(-\frac{13\pi}{4}\right)\)
* \(\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(8\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)
* \(\cos\left(-\frac{13\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{13\pi}{4}\right) = \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
* \(36\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 36 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) = 36\sqrt{3} \cdot (-1) = -36\sqrt{3}\)

63. \(-2\sqrt{48} \operatorname{ctg}\left(-\frac{26\pi}{3}\right) \cdot \sin(-20\pi)\)
* \(-2\sqrt{48} = -2 \cdot 4\sqrt{3} = -8\sqrt{3}\)
* \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{26\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{26\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\left(8\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -(-\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right)) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
* \(\sin(-20\pi) = 0\)
* \(-8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0 = 0\)

Надеюсь, вы сможете следить за моими расчетами. Если какой-то шаг непонятен, спрашивайте!

Конечно! Вот несколько примеров с углами, которые больше \(2\pi\) (или \(360^\circ\)) и отрицательными, с подробным объяснением.

Примеры с углами больше \(2\pi\):

Пример 1: Вычислить \(\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)\).

• Шаг 1: Приведение к углу в пределах \([0, 2\pi)\).
  Мы видим, что \(\frac{13\pi}{6} > 2\pi\). Чтобы упростить, вычтем полные обороты (\(2\pi\)).
  \(\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}\).
• Шаг 2: Использование периодичности синуса.
  Функция синуса периодична с периодом \(2\pi\), то есть \(\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)\), где \(k\) - целое число.
  В нашем случае, \(\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\).
• Шаг 3: Вычисление значения.
  \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).
• Ответ: \(\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

Пример 2: Вычислить \(\cos\left(\frac{17\pi}{4}\right)\).

• Шаг 1: Приведение к углу в пределах \([0, 2\pi)\).
  \(\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}\).
• Шаг 2: Использование периодичности косинуса.
  Косинус периодичен с периодом \(2\pi\), то есть \(\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)\).
  \(\cos\left(\frac{17\pi}{4}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
• Шаг 3: Вычисление значения.
  \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• Ответ: \(\cos\left(\frac{17\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Пример 3: Вычислить \(\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{3}\right)\).

• Шаг 1: Приведение к углу в пределах \([0, \pi)\).
  Тангенс имеет период \(\pi\), но для простоты можно также привести к \([0, 2\pi)\) и затем к острой величине.
  \(\frac{25\pi}{3} = \frac{24\pi + \pi}{3} = \frac{24\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}\).
• Шаг 2: Использование периодичности тангенса.
  Тангенс периодичен с периодом \(\pi\). \(8\pi\) - это 4 полных оборота по \(\pi\).
  \(\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(8\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\).
• Шаг 3: Вычисление значения.
  \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\).
• Ответ: \(\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\).

Примеры с отрицательными углами:

Пример 4: Вычислить \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\).

• Шаг 1: Использование свойства нечетности синуса.
  Синус - нечетная функция: \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\).
  \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\).
• Шаг 2: Приведение аргумента к положительному значению.
  \(\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}\).
• Шаг 3: Использование формулы приведения или периодичности.
  \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)\). Угол \(\pi + \frac{\pi}{6}\) находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
  \(\sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
• Шаг 4: Объединение результатов.
  \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\).
• Ответ: \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

Пример 5: Вычислить \(\cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right)\).

• Шаг 1: Использование свойства четности косинуса.
  Косинус - четная функция: \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\).
  \(\cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)\).
• Шаг 2: Приведение к углу в пределах \([0, 2\pi)\).
  \(\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}\).
• Шаг 3: Использование периодичности косинуса.
  \(\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\).
• Шаг 4: Вычисление значения.
  Угол \(\frac{3\pi}{4}\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
  \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
• Ответ: \(\cos\left(-\frac{11\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Пример 6: Вычислить \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\).

• Шаг 1: Использование свойства нечетности котангенса.
  Котангенс - нечетная функция: \(\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)\).
  \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{3}\right)\).
• Шаг 2: Приведение аргумента к углу в пределах \([0, \pi)\).
  \(\frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}\).
• Шаг 3: Использование периодичности или формул приведения.
  \(\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right)\). Так как период тангенса и котангенса \(\pi\), то \(2\pi - \frac{\pi}{3}\) эквивалентно \(-\frac{\pi}{3}\) или \(\frac{\pi}{3}\) с учетом четверти.
  \(\operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
• Шаг 4: Объединение результатов.
  \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
• Ответ: \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Ключевые моменты:

1. Периодичность:

   • \(\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)\)
   • \(\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)\)
   • \(\operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg}(\alpha)\)
   • \(\operatorname{ctg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{ctg}(\alpha)\)
     (где \(k\) - любое целое число)

2. Свойства четности/нечетности:

   • \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\) (нечетная)
   • \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\) (четная)
   • \(\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)\) (нечетная)
   • \(\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)\) (нечетная)

3. Формулы приведения: Помогают свести тригонометрические функции от сложных углов к функциям от "простых" углов (например, \(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\)) с учетом знака функции в соответствующей четверти.

Привет! Этот документ содержит задачи по электростатике. Я могу помочь с решением этих задач.

Вот задачи, которые я вижу:

1. Равновесие капельки в электрическом поле: Определить заряд капельки, находящейся в равновесии в однородном электрическом поле.
2. Напряженность поля в квадрате: Найти напряженность электрического поля в точке пересечения диагоналей квадрата, где расположены одинаковые положительные заряды.
3. Напряженность поля от двух зарядов: Определить напряженность электрического поля в точке, удаленной от двух одноименных зарядов.
4. Движение электрона в электрическом поле: Найти разность потенциалов, пройденную электроном, двигаясь под действием электрического поля.
5. Отклонение протона и альфа-частицы: Во сколько раз отклонение протона будет больше отклонения альфа-частицы в поле плоского конденсатора.
6. Сила взаимодействия шариков: Определить, на какое расстояние нужно развести заряженные шарики, чтобы сила взаимодействия осталась прежней.
7. Емкость конденсатора с диэлектриком: Во сколько раз изменилась емкость конденсатора при внесении диэлектрической пластинки.

Какую задачу ты хотел бы решить или обсудить?