Упрощение выражений с квадратными корнями: подробное решение

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:
\(8 - 2\sqrt{7} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}\)

Сравним коэффициенты:

• \(a + b = 8\)
• \(ab = 7\)

Решим систему уравнений. Так как \(ab = 7\), и 7 - простое число, то \(a = 7\) и \(b = 1\) (или наоборот). Проверим:
\(7 + 1 = 8\) (верно)

Тогда:
\(\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{1})^2} = |\sqrt{7} - 1|\)

Так как \(\sqrt{7} > 1\), то \(|\sqrt{7} - 1| = \sqrt{7} - 1\).

Цель: Представить подкоренное выражение \(8 - 2\sqrt{7}\) в виде полного квадрата, чтобы упростить извлечение квадратного корня.

Предположение: Предположим, что \(8 - 2\sqrt{7}\) можно представить в виде квадрата разности двух чисел:
\(8 - 2\sqrt{7} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\)
где \(a\) и \(b\) - некоторые числа, которые нам нужно найти.

Раскрытие квадрата разности:
\((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}\)

Сравнение с исходным выражением:
Теперь у нас есть:
\(8 - 2\sqrt{7} = a + b - 2\sqrt{ab}\)
Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

• \(a + b = 8\)
• \(ab = 7\)

Решение системы уравнений:
Так как \(ab = 7\), и 7 - простое число, то возможные варианты для \(a\) и \(b\) это:

• \(a = 7\) и \(b = 1\)
• \(a = 1\) и \(b = 7\)
  Проверим первый вариант (\(a = 7\), \(b = 1\)):
  \(a + b = 7 + 1 = 8\) (верно)
  Проверим второй вариант (\(a = 1\), \(b = 7\)):
  \(a + b = 1 + 7 = 8\) (верно)

Подстановка значений:
Подставим найденные значения \(a\) и \(b\) в выражение \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\):
\((\sqrt{7} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} - 1)^2\) или \((\sqrt{1} - \sqrt{7})^2 = (1 - \sqrt{7})^2\)

Извлечение квадратного корня:
Теперь вернемся к исходному выражению:
\(\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = |\sqrt{7} - 1|\) или \(\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |1 - \sqrt{7}|\)

Учет модуля:
Так как \(\sqrt{7} \approx 2.646 > 1\), то \(\sqrt{7} - 1 > 0\), и \(| \sqrt{7} - 1 | = \sqrt{7} - 1\).
И наоборот, \(1 - \sqrt{7} < 0\), и \(| 1 - \sqrt{7} | = - (1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1\).

Окончательный ответ:
\(\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1\)