Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:
$8 - 2\sqrt{7} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$

Сравним коэффициенты:

• $a + b = 8$
• $ab = 7$

Решим систему уравнений. Так как $ab = 7$, и 7 - простое число, то $a = 7$ и $b = 1$ (или наоборот). Проверим:
$7 + 1 = 8$ (верно)

Тогда:
$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{1})^2} = |\sqrt{7} - 1|$

Так как $\sqrt{7} > 1$, то $|\sqrt{7} - 1| = \sqrt{7} - 1$.

Цель: Представить подкоренное выражение $8 - 2\sqrt{7}$ в виде полного квадрата, чтобы упростить извлечение квадратного корня.

Предположение: Предположим, что $8 - 2\sqrt{7}$ можно представить в виде квадрата разности двух чисел:
$8 - 2\sqrt{7} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$
где $a$ и $b$ - некоторые числа, которые нам нужно найти.

Раскрытие квадрата разности:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$

Сравнение с исходным выражением:
Теперь у нас есть:
$8 - 2\sqrt{7} = a + b - 2\sqrt{ab}$
Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

• $a + b = 8$
• $ab = 7$

Решение системы уравнений:
Так как $ab = 7$, и 7 - простое число, то возможные варианты для $a$ и $b$ это:

• $a = 7$ и $b = 1$
• $a = 1$ и $b = 7$
  Проверим первый вариант ($a = 7$, $b = 1$):
  $a + b = 7 + 1 = 8$ (верно)
  Проверим второй вариант ($a = 1$, $b = 7$):
  $a + b = 1 + 7 = 8$ (верно)

Подстановка значений:
Подставим найденные значения $a$ и $b$ в выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$:
$(\sqrt{7} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} - 1)^2$ или $(\sqrt{1} - \sqrt{7})^2 = (1 - \sqrt{7})^2$

Извлечение квадратного корня:
Теперь вернемся к исходному выражению:
$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = |\sqrt{7} - 1|$ или $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} = |1 - \sqrt{7}|$

Учет модуля:
Так как $\sqrt{7} \approx 2.646 > 1$, то $\sqrt{7} - 1 > 0$, и $| \sqrt{7} - 1 | = \sqrt{7} - 1$.
И наоборот, $1 - \sqrt{7} < 0$, и $| 1 - \sqrt{7} | = - (1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1$.

Окончательный ответ:
$\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1$