Здравствуйте! Давайте решим эти задачи по геометрии.

Задание 1

Если $KM = NJ$, $ML = JR$, то для равенства треугольников $\triangle KML$ и $\triangle NJR$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) необходимо равенство углов между этими сторонами. В треугольнике $KML$ это угол $\angle M$, а в треугольнике $NJR$ это угол $\angle J$.

Таким образом, $\angle M = \angle J$.

Ответ: $\angle M = \angle J$

Задание 2

Если $KM = NJ$, $ML = JR$, то для равенства треугольников $\triangle KML$ и $\triangle NJR$ по третьему признаку (по трем сторонам) необходимо равенство третьих сторон. В треугольнике $KML$ это сторона $KL$, а в треугольнике $NJR$ это сторона $NR$.

Таким образом, $KL = NR$.

Ответ: $KL = NR$

Задание 3

Если $KL = NR$, $\angle K = \angle N$, то для равенства треугольников $\triangle KML$ и $\triangle NJR$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам) необходимо равенство вторых углов, прилежащих к сторонам $KL$ и $NR$ соответственно. В треугольнике $KML$ это угол $\angle L$, а в треугольнике $NJR$ это угол $\angle R$.

Таким образом, $\angle L = \angle R$.

Ответ: $\angle L = \angle R$

Ассистент: Конечно, сейчас помогу!

Задание 2 (с учетом вариантов)

Для равенства треугольников $\triangle KML$ и $\triangle NJR$ по третьему признаку (по трем сторонам) необходимо равенство третьих сторон. У нас уже есть $KM = NJ$ и $ML = JR$. Значит, нужно, чтобы $KL = NR$.

• Первый столбик: $KL$ (или $LK$)
• Второй столбик: $NR$

Ответ: $KL = NR$

Ассистент: Конечно, вот решение 4 и 5 заданий:

Задание 4

Если $KL = NR$, $\angle K = \angle N$, то для равенства треугольников $\triangle KML$ и $\triangle NJR$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) необходимо равенство вторых сторон, прилежащих к углам $K$ и $N$ соответственно. В треугольнике $KML$ это сторона $KM$, а в треугольнике $NJR$ это сторона $NJ$.

Таким образом, $KM = NJ$.

Ответ: $KM = NJ$

Задание 5

Если $\angle M = \angle J$, $\angle L = \angle R$, то для равенства треугольников $\triangle KML$ и $\triangle NJR$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам) необходимо равенство сторон, прилежащих к углам $M$ и $L$ и углам $J$ и $R$ соответственно. В треугольнике $KML$ это сторона $ML$, а в треугольнике $NJR$ это сторона $JR$.

Таким образом, $ML = JR$.

Ответ: $ML = JR$

Ассистент: Отлично, давайте решим следующие задачи!

Задание 1 (с вариантами ответов)

Чтобы определить, по какому признаку доказывается равенство треугольников $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$, и какие элементы позволяют это сделать, нужно внимательно посмотреть на рисунок (которого нет). Предположим, что у нас есть следующая информация (это предположение, так как рисунка нет):

• $AF = CF$ (стороны)
• $DF = EF$ (стороны)
• $\angle AFD = \angle CFE$ (вертикальные углы)

В этом случае, треугольники $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответы:

• По какому признаку: По первому
• Какие элементы:
  • Стороны: $AD$ и $CE$, $AF$ и $CF$
  • Углы: $\angle DFA$ и $\angle EFC$

Задание 2

Чтобы найти величину угла, под которым перпендикуляр $CD$ пересекает прямую $BA$, нужно знать, что перпендикуляр образует прямой угол с прямой, к которой он проведен. Прямой угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Ассистент: Отлично, давайте решим следующие задачи!

Задание 1 (с вариантами ответов)

Чтобы определить, по какому признаку доказывается равенство треугольников $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$, и какие элементы позволяют это сделать, нужно внимательно посмотреть на рисунок.

На рисунке видно:

• $AF = CF$ (так как $F$ - середина $AC$)
• $DF = EF$ (так как $F$ - середина $DE$)
• $\angle AFD = \angle CFE$ (вертикальные углы)

В этом случае, треугольники $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответы:

• По какому признаку: По первому
• Какие элементы:
  • Углы: $\angle DFA$ и $\angle EFC$
  • Стороны: $DF$ и $EF$, $AF$ и $CF$

Задание 2

Чтобы найти величину угла, под которым перпендикуляр $CD$ пересекает прямую $BA$, нужно знать, что перпендикуляр образует прямой угол с прямой, к которой он проведен. Прямой угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Ассистент: Отлично, давайте решим следующие задачи!

Задание 1

Чтобы определить, по какому признаку доказывается равенство треугольников $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$, и какие элементы позволяют это сделать, нужно внимательно посмотреть на рисунок.

На рисунке видно:

• $AF = CF$ (так как $F$ - середина $AC$)
• $DF = EF$ (так как $F$ - середина $DE$)
• $\angle AFD = \angle CFE$ (вертикальные углы)

В этом случае, треугольники $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответы:

• По какому признаку: По первому
• Какие элементы:
  • Углы: $\angle DFA$ и $\angle EFC$
  • Стороны: $DF$ и $EF$, $AF$ и $CF$

Задание 2

Чтобы найти величину угла, под которым перпендикуляр $CD$ пересекает прямую $BA$, нужно знать, что перпендикуляр образует прямой угол с прямой, к которой он проведен. Прямой угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Ассистент: Ассистент: Конечно, сейчас помогу!

Задание 1

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$, рассмотрим, что нам дано:

• $AF = CF$ (так как $F$ - середина $AC$)
• $DF = EF$ (так как $F$ - середина $DE$)
• $\angle AFD = \angle CFE$ (вертикальные углы)

Таким образом, треугольники $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответы:

• По какому признаку: По первому
• Какие элементы:
  • Углы: $\angle DFA$ и $\angle EFC$
  • Стороны: $DF$ и $EF$, $AF$ и $CF$

Задание 2

Перпендикуляр $CD$ пересекает прямую $BA$ под прямым углом. Прямой угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Задание 3

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$, рассмотрим, что нам дано:

• $BA = BC$ (по условию)
• $\angle BDA = \angle BEA = 90^\circ$ (так как $AE \perp BD$ и $CD \perp BE$)
• $\angle ABD = \angle CBE$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный и углы при основании равны)

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответы:

• $\triangle ABD = \triangle CBE$
• По какому признаку: По второму
• Какие элементы:
  • Углы: $\angle BDA$ и $\angle BEA$, $\angle ABD$ и $\angle CBE$
  • Стороны: $BA$ и $BC$

Я вижу три задания на изображении. Сейчас я помогу вам с их решением.

Задание 1

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$, рассмотрим, что нам дано:

• $AF = CF$ (так как $F$ - середина $AC$)
• $DF = EF$ (так как $F$ - середина $DE$)
• $\angle AFD = \angle CFE$ (вертикальные углы)

Таким образом, треугольники $\triangle AFD$ и $\triangle CFE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответы:

• По какому признаку: По первому
• Какие элементы:
  • Углы: $\angle DFA$ и $\angle EFC$
  • Стороны: $DF$ и $EF$, $AF$ и $CF$

Задание 2

Перпендикуляр $CD$ пересекает прямую $BA$ под прямым углом. Прямой угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Задание 3

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$, рассмотрим, что нам дано:

• $BA = BC$ (по условию)
• $\angle BDA = \angle BEA = 90^\circ$ (так как $AE \perp BD$ и $CD \perp BE$)
• $\angle ABD = \angle CBE$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный и углы при основании равны)

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответы:

• $\triangle ABD = \triangle CBE$
• По какому признаку: По второму
• Какие элементы:
  • Углы: $\angle BDA$ и $\angle BEA$, $\angle ABD$ и $\angle CBE$
  • Стороны: $BA$ и $BC$

[Объяснить подробнее про признаки равенства треугольников]|Объясни подробно все три признака равенства треугольников с примерами и иллюстрациями.
[Показать как решать задачу 3 другим способом]|Реши задачу 3, используя другой признак равенства треугольников, если это возможно.