Решение задач по алгебре и арифметике с подробными объяснениями

Задание 1

Найдем значение выражения при \(a = 5^{\frac{1}{33}} / a^{\frac{1}{7}}\).

Сначала упростим выражение для \(a\):
\(a = \frac{5^{\frac{1}{33}}}{a^{\frac{1}{7}}}\)
\(a \cdot a^{\frac{1}{7}} = 5^{\frac{1}{33}}\)
\(a^{1 + \frac{1}{7}} = 5^{\frac{1}{33}}\)
\(a^{\frac{8}{7}} = 5^{\frac{1}{33}}\)

Теперь подставим это в исходное выражение, которое, предположительно, имеет вид \(5^{\frac{a^3}{a^7}}\) или похожее. Однако, в условии задачи не указано само выражение, которое нужно найти. Предположим, что нужно найти значение выражения \(5^{\frac{a^3}{a^7}}\).

Упростим показатель степени:
\(\frac{a^3}{a^7} = a^{3-7} = a^{-4}\)

Теперь нам нужно найти \(a^{-4}\). Из уравнения \(a^{\frac{8}{7}} = 5^{\frac{1}{33}}\), возведем обе части в степень, чтобы получить \(a^{-4}\).
Для этого найдем степень, в которую нужно возвести \(a^{\frac{8}{7}}\), чтобы получить \(a^{-4}\).
Пусть это будет \(k\). Тогда:
\((\frac{8}{7}) \cdot k = -4\)
\(k = -4 \cdot \frac{7}{8} = -\frac{28}{8} = -\frac{7}{2}\)

Теперь возведем обе части уравнения \(a^{\frac{8}{7}} = 5^{\frac{1}{33}}\) в степень \(-\frac{7}{2}\):
\((a^{\frac{8}{7}})^{-\frac{7}{2}} = (5^{\frac{1}{33}})^{-\frac{7}{2}}\)
\(a^{-4} = 5^{\frac{1}{33} \cdot (-\frac{7}{2})}\)
\(a^{-4} = 5^{-\frac{7}{66}}\)

Таким образом, значение выражения \(5^{a^{-4}}\) будет:
\(5^{5^{-\frac{7}{66}}}\)

Примечание: Условие задачи сформулировано неполностью, так как не указано само выражение, значение которого нужно найти. Решение основано на предположении о виде выражения.

Задание 2

Вычислим значение выражения \(\sqrt[5]{65 \cdot 724}\).

Сначала разложим числа на множители:
\(65 = 5 \cdot 13\)
\(724 = 4 \cdot 181 = 2^2 \cdot 181\)

Теперь подставим разложение в выражение под корнем:
\(65 \cdot 724 = (5 \cdot 13) \cdot (2^2 \cdot 181) = 2^2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 181\)

Выражение принимает вид:
\(\sqrt[5]{2^2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 181}\)

Так как под корнем нет множителей, которые можно было бы извлечь из-под пятой степени (т.е. множителей в пятой степени), точное численное значение этого выражения не является целым числом или простым рациональным числом.

Примечание: Возможно, в условии задачи была опечатка, и числа должны были позволить упростить выражение до более простого вида. Если предположить, что числа были другими, например, \(\sqrt[5]{32 \cdot 243}\), то решение было бы:
\(\sqrt[5]{32 \cdot 243} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 3)^5} = 2 \cdot 3 = 6\).

В текущем виде, ответ остается в виде корня.

Задание 3

Вычислим значение выражения \(29 \cdot 16^4 - 15\).

Сначала вычислим \(16^4\):
\(16^2 = 256\)
\(16^4 = (16^2)^2 = 256^2\)

Вычислим \(256^2\):
\(256 \cdot 256 = 65536\)

Теперь умножим на 29:
\(29 \cdot 65536\)

Можно сделать так:
\(29 \cdot 65536 = (30 - 1) \cdot 65536 = 30 \cdot 65536 - 1 \cdot 65536\)
\(30 \cdot 65536 = 1966080\)
\(1966080 - 65536 = 1900544\)

Теперь вычтем 15:
\(1900544 - 15 = 1900529\)

Ответ: \(1900529\)