Решение выражений со смешанными дробями. 5-6 класс

Привет! Давай решим эти примеры по порядку.

Задание 1

Вычислим значение выражения:

\(2\frac{5}{13} \cdot 1\frac{11}{15} + 3\frac{2}{13} \cdot 1\frac{11}{15}\)

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

   • \(2\frac{5}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 5}{13} = \frac{26 + 5}{13} = \frac{31}{13}\)
   • \(1\frac{11}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 11}{15} = \frac{15 + 11}{15} = \frac{26}{15}\)
   • \(3\frac{2}{13} = \frac{3 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{39 + 2}{13} = \frac{41}{13}\)

2. Теперь выражение выглядит так:
   \(\frac{31}{13} \cdot \frac{26}{15} + \frac{41}{13} \cdot \frac{26}{15}\)

3. Вынесем общий множитель \(\frac{26}{15}\) за скобки:
   \(\frac{26}{15} \cdot \left(\frac{31}{13} + \frac{41}{13}\right)\)

4. Сложим дроби в скобках:
   \(\frac{31}{13} + \frac{41}{13} = \frac{31 + 41}{13} = \frac{72}{13}\)

5. Теперь умножим:
   \(\frac{26}{15} \cdot \frac{72}{13} = \frac{26 \cdot 72}{15 \cdot 13}\)

6. Сократим дроби:
   \(\frac{26 \cdot 72}{15 \cdot 13} = \frac{2 \cdot 72}{15 \cdot 1} = \frac{144}{15}\)

7. Преобразуем неправильную дробь в смешанную:
   \(\frac{144}{15} = 9\frac{9}{15} = 9\frac{3}{5}\)

Ответ: \(9\frac{3}{5}\)

Задание 2

Вычислим значение выражения:

\(1\frac{1}{14} \cdot 9\frac{1}{3} + \frac{1}{28} \cdot 9\frac{1}{3} + 9\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{7}\)

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

   • \(1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}\)
   • \(9\frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{28}{3}\)
   • \(1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}\)

2. Теперь выражение выглядит так:
   \(\frac{15}{14} \cdot \frac{28}{3} + \frac{1}{28} \cdot \frac{28}{3} + \frac{28}{3} \cdot \frac{11}{7}\)

3. Вынесем общий множитель \(\frac{28}{3}\) за скобки:
   \(\frac{28}{3} \cdot \left(\frac{15}{14} + \frac{1}{28} + \frac{11}{7}\right)\)

4. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю (28):
   \(\frac{15}{14} = \frac{15 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{30}{28}\)
   \(\frac{11}{7} = \frac{11 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{44}{28}\)

5. Сложим дроби в скобках:
   \(\frac{30}{28} + \frac{1}{28} + \frac{44}{28} = \frac{30 + 1 + 44}{28} = \frac{75}{28}\)

6. Теперь умножим:
   \(\frac{28}{3} \cdot \frac{75}{28} = \frac{28 \cdot 75}{3 \cdot 28}\)

7. Сократим дроби:
   \(\frac{28 \cdot 75}{3 \cdot 28} = \frac{75}{3} = 25\)

Ответ: 25

Задание

В программе спортивных соревнований были плавание кроссом, плавание брассом, плавание на спине. В соревнованиях по плаванию кроссом 15 всех спортсменов, в соревнованиях по плаванию брассом \(\frac{3}{5}\) всех спортсменов, а по плаванию на спине остальные 36 спортсменов. Найдите количество спортсменов, если известно, что каждый участвовал только в одном виде спорта. Сколько человек участвовало в соревнованиях по плаванию кроссом?

Решение:

Пусть x - общее количество спортсменов.

1. Выразим количество спортсменов в каждой дисциплине через x:

   • Кросс: \(0.15x\)
   • Брасс: \(\frac{3}{5}x\)
   • Спина: 36

2. Составим уравнение, зная, что общее количество спортсменов равно сумме участников в каждой дисциплине:
   \(0.15x + \frac{3}{5}x + 36 = x\)

3. Приведем все коэффициенты к общему знаменателю (100):
   \(\frac{15}{100}x + \frac{60}{100}x + 36 = x\)

4. Сложим дроби:
   \(\frac{75}{100}x + 36 = x\)

5. Перенесем слагаемое с x в правую часть уравнения:
   \(36 = x - \frac{75}{100}x\)

6. Упростим правую часть:
   \(36 = \frac{25}{100}x\)

7. Выразим x:
   \(x = \frac{36 \cdot 100}{25} = \frac{36 \cdot 4}{1} = 144\)

8. Найдем количество участников в кроссе:
   \(0.15 \cdot 144 = 21.6\)

   Поскольку количество спортсменов должно быть целым числом, возможно в условии задачи опечатка.
   Предположим, что в кроссе участвовало 15% ОТ ВСЕХ, КРОМЕ СПИНЫ.

9. Тогда участников не в спине \(x = 144 - 36 = 108\)

10. \(0.15 \cdot 108 = 16.2\)

    Опять нецелое число.

11. Предположим, что в кроссе участвовало 15 ЧЕЛОВЕК (а не процентов). Тогда все просто:
    \(\frac{3}{5}x + 15 + 36 = x\)
    \(\frac{3}{5}x + 51 = x\)
    \(51 = \frac{2}{5}x\)
    \(x = \frac{51 \cdot 5}{2} = 127.5\)

Снова нецелое число.

12. Последняя попытка

Предположим, что в условии было "В соревнованиях по плаванию кроссом 15 % от числа участвующих в плавании брассом".
То есть в плавании брассом \(\frac{3}{5}x\) человек, тогда в плавании кроссом \(0.15 * (\frac{3}{5}x) = \frac{0.45}{5}x = \frac{9}{100}x\)
Тогда уравнение будет таким:
\(\frac{9}{100}x + \frac{3}{5}x + 36 = x\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{9}{100}x + \frac{60}{100}x + 36 = x\)
\(\frac{69}{100}x + 36 = x\)
\(36 = \frac{31}{100}x\)
\(x = \frac{3600}{31} \approx 116.13\)

Все равно нецелое число. Очевидно, в задаче опечатка, и без ее исправления адекватного решения не получить.

В исходном варианте задачи, если предположить, что в кроссе участвовало 15% от общего числа, то получается, что в кроссе участвовало 21.6 человек, что невозможно. Скорее всего, в условии задачи содержится опечатка, и ее нужно уточнить.

Ответ: В условии задачи содержится опечатка, необходимо уточнение условия. Без уточнения невозможно получить корректный ответ.