Решение квадратных неравенств и линейных неравенств
Привет! Давай решим эти задания по порядку.
Задание 1a
Решить неравенство: \((x-3)(x+7) \geq 0\)
-
Находим нули функции:
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
-
Метод интервалов:
- Отмечаем точки -7 и 3 на числовой прямой.
- Определяем знаки на интервалах:
- \(x < -7\): \((-)(-) = +\)
- \(-7 < x < 3\): \((-)(+) = -\)
- \(x > 3\): \((+)(+) = +\)
-
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю:
- \(x \leq -7\) или \(x \geq 3\)
Ответ: \(x \in (-\infty, -7] \cup [3, \infty)\)
Задание 1б
Решить неравенство: \(2x^2 - 32 < 0\)
-
Упрощаем неравенство:
- \(2x^2 < 32\)
- \(x^2 < 16\)
-
Извлекаем квадратный корень:
- \(-\sqrt{16} < x < \sqrt{16}\)
- \(-4 < x < 4\)
Ответ: \(x \in (-4, 4)\)
Задание 1в
Решить неравенство: \(6x - 4(x-1) < 2x + 4\)
-
Раскрываем скобки:
- \(6x - 4x + 4 < 2x + 4\)
-
Упрощаем:
- \(2x + 4 < 2x + 4\)
- \(0 < 0\)
-
Анализ:
- Полученное неравенство \(0 < 0\) не имеет решений, так как 0 не меньше 0.
Ответ: Решений нет.
Ассистент: Конечно, сейчас объясню подробнее решение задания 1в.
Задание 1в (подробное объяснение)
Решить неравенство: \(6x - 4(x-1) < 2x + 4\)
-
Раскрываем скобки:
- \(6x - 4x + 4 < 2x + 4\)
-
Упрощаем выражение в левой части:
- \(2x + 4 < 2x + 4\)
-
Переносим все члены с переменной в одну сторону (например, влево):
- \(2x - 2x < 4 - 4\)
-
Упрощаем:
- \(0 < 0\)
-
Анализ полученного неравенства:
- Неравенство \(0 < 0\) означает, что ноль меньше нуля. Это утверждение всегда ложно, так как ноль равен нулю.
- Поскольку в процессе решения мы пришли к ложному утверждению, это означает, что нет значений x, которые могли бы удовлетворить исходному неравенству.
Ответ: Решений нет.
Почему нет решений?
Когда мы упростили исходное неравенство, переменная \(x\) полностью исчезла из уравнения. В результате мы получили числовое неравенство, которое не зависит от значения \(x\). Поскольку это числовое неравенство (\(0 < 0\)) является ложным, то ни одно значение \(x\) не может сделать его истинным.
