Решение и объяснение математических задач: уравнения, производные, интегралы, геометрия, тригонометрия

Конечно, я помогу тебе с решением заданий с 7 по 16.

Задание 7

Решите показательное уравнение: \(7^{x+2} - 14 \cdot 7^x = 5\).

Решение:

1. Раскроем скобки в первом члене: \(7^x \cdot 7^2 - 14 \cdot 7^x = 5\).
2. Вычислим \(7^2\): \(49 \cdot 7^x - 14 \cdot 7^x = 5\).
3. Вынесем \(7^x\) за скобки: \(7^x (49 - 14) = 5\).
4. Вычислим разность в скобках: \(7^x \cdot 35 = 5\).
5. Выразим \(7^x\): \(7^x = \frac{5}{35}\).
6. Упростим дробь: \(7^x = \frac{1}{7}\).
7. Представим правую часть как степень семерки: \(7^x = 7^{-1}\).
8. Приравниваем показатели степеней: \(x = -1\).

Ответ: \(x = -1\).

Задание 8

Решите логарифмическое уравнение: \(\log_2(2x - 1) = 3\).

Решение:

1. По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). Применим это к нашему уравнению: \(2^3 = 2x - 1\).
2. Вычислим \(2^3\): \(8 = 2x - 1\).
3. Перенесем -1 в левую часть с противоположным знаком: \(8 + 1 = 2x\).
4. Вычислим сумму: \(9 = 2x\).
5. Найдем \(x\): \(x = \frac{9}{2}\).
6. Проверим область допустимых значений (ОДЗ): \(2x - 1 > 0\). Подставим найденное значение \(x\): \(2 \cdot \frac{9}{2} - 1 = 9 - 1 = 8 > 0\). ОДЗ выполняется.

Ответ: \(x = \frac{9}{2}\).

Задание 9

Решите тригонометрическое уравнение: \(2\sin(2x + 6) = 1\).

Решение:

1. Выделим синус: \(\sin(2x + 6) = \frac{1}{2}\).
2. Вспомним, что синус равен \(\frac{1}{2}\) для углов \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\) (в пределах одного периода).
3. Общее решение для уравнения \(\sin \alpha = a\) имеет вид: \(\alpha = (-1)^n \arcsin a + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
4. В нашем случае \(\alpha = 2x + 6\) и \(a = \frac{1}{2}\). Значит, \(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\).
5. Подставляем в общую формулу: \(2x + 6 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
6. Выразим \(2x\): \(2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n - 6\).
7. Найдем \(x\): \(x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n - 6 \right)\).
8. Упростим: \(x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} - 3\).

Ответ: \(x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} - 3\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Задание 10

Найдите значение производной функции: \(f(x) = \frac{5}{2}x^4 - 3x^3 + 2x - 1\) при \(x = 3\).

Решение:

1. Найдем производную функции \(f(x)\). Используем правила дифференцирования:

   • Производная от \(cx^n\) равна \(c \cdot nx^{n-1}\).
   • Производная от константы равна 0.
   • Производная от суммы/разности равна сумме/разности производных.

   \(f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{5}{2}x^4 - 3x^3 + 2x - 1 \right)\)
   \(f'(x) = \frac{5}{2} \cdot 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} - 0\)
   \(f'(x) = 10x^3 - 9x^2 + 2x^0\)
   \(f'(x) = 10x^3 - 9x^2 + 2\).

2. Теперь подставим \(x = 3\) в найденную производную:
   \(f'(3) = 10(3)^3 - 9(3)^2 + 2\)
   \(f'(3) = 10(27) - 9(9) + 2\)
   \(f'(3) = 270 - 81 + 2\)
   \(f'(3) = 189 + 2\)
   \(f'(3) = 191\).

Ответ: \(f'(3) = 191\).

Задание 11

Найдите первообразную функции: \(f(x) = 6x^5 + 10x^4 - 3x^2 + 7\).

Решение:

Чтобы найти первообразную (антипроизводную) функции, мы используем правила интегрирования, которые являются обратными к правилам дифференцирования.

1. Правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (где \(n \neq -1\)).
2. Интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов.
3. Интеграл от константы, умноженной на функцию, равен константе, умноженной на интеграл от функции: \(\int c \cdot f(x) dx = c \int f(x) dx\).
4. Интеграл от константы равен константе, умноженной на \(x\), плюс константа интегрирования: \(\int k dx = kx + C\).

Применим эти правила к нашей функции:
\(F(x) = \int (6x^5 + 10x^4 - 3x^2 + 7) dx\)
\(F(x) = \int 6x^5 dx + \int 10x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int 7 dx\)
\(F(x) = 6 \int x^5 dx + 10 \int x^4 dx - 3 \int x^2 dx + \int 7 dx\)
\(F(x) = 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + 10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 7x + C\)
\(F(x) = 6 \cdot \frac{x^6}{6} + 10 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C\)
\(F(x) = x^6 + 2x^5 - x^3 + 7x + C\).

Здесь \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: \(F(x) = x^6 + 2x^5 - x^3 + 7x + C\).

Задание 12

Вычислите интеграл: \(\int_1^{2.7} \frac{1}{x} dx\).

Решение:

1. Вспомним, что первообразной для функции \(\frac{1}{x}\) является натуральный логарифм \(\ln|x|\).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная для \(f(x)\).
3. В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2.7\), и \(F(x) = \ln|x|\).
4. Вычислим:
   \(\int_1^{2.7} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_1^{2.7}\)
   \(= \ln|2.7| - \ln|1|\)
   \(= \ln(2.7) - 0\) (так как \(\ln(1) = 0\))
   \(= \ln(2.7)\).

Ответ: \(\ln(2.7)\).

Задание 13

Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь полной поверхности равна \(136 \text{ см}^2\), а стороны основания равны 4 см и 6 см.

Решение:

1. Обозначим стороны основания как \(a\) и \(b\), а высоту параллелепипеда как \(h\).
   По условию: \(a = 4\) см, \(b = 6\) см.
2. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(S_{полн} = 2(ab + ah + bh)\).
3. Подставим известные значения в формулу площади полной поверхности:
   \(136 = 2(4 \cdot 6 + 4 \cdot h + 6 \cdot h)\)
   \(136 = 2(24 + 10h)\)
4. Разделим обе части на 2:
   \(68 = 24 + 10h\)
5. Выразим \(10h\):
   \(10h = 68 - 24\)
   \(10h = 44\)
6. Найдем высоту \(h\):
   \(h = \frac{44}{10} = 4.4\) см.
7. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(V = a \cdot b \cdot h\).
8. Подставим все известные значения:
   \(V = 4 \cdot 6 \cdot 4.4\)
   \(V = 24 \cdot 4.4\)
   \(V = 105.6 \text{ см}^3\).

Ответ: \(105.6 \text{ см}^3\).

Задание 14

Решите неравенство: \(\log_2(x^2 - x - 2) > 2\).

Решение:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
   \(x^2 - x - 2 > 0\).
   Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - x - 2 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 1\), \(x_1 x_2 = -2\). Корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\).
   Парабола \(y = x^2 - x - 2\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - x - 2 > 0\) при \(x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)\).

2. Решение неравенства: Преобразуем правую часть неравенства к логарифму по основанию 2.
   \(2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)\).
   Неравенство принимает вид: \(\log_2(x^2 - x - 2) > \log_2(4)\).

3. Так как основание логарифма \(2 > 1\), функция логарифма возрастающая. Следовательно, мы можем приравнять аргументы, сохранив знак неравенства:
   \(x^2 - x - 2 > 4\).

4. Перенесем все в левую часть:
   \(x^2 - x - 2 - 4 > 0\)
   \(x^2 - x - 6 > 0\).

5. Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - x - 6 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 1\), \(x_1 x_2 = -6\). Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).
   Парабола \(y = x^2 - x - 6\) ветвями вверх, поэтому \(x^2 - x - 6 > 0\) при \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).

6. Пересечение ОДЗ и решения неравенства:
   Нам нужно найти пересечение множеств:
   \((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)\) (ОДЗ)
   \((-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\) (решение \(x^2 - x - 6 > 0\))

   Пересечение этих множеств:
   * \((-\infty, -1)\) и \((-\infty, -2)\) дают \((-\infty, -2)\).
   * \((2, +\infty)\) и \((3, +\infty)\) дают \((3, +\infty)\).

   Таким образом, решение неравенства: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).

Задание 15

Решите систему уравнений:
\(\begin{cases} 2y - 3x = 6 \\ 2x + y = \log_3 135 - \log_3 5 \end{cases}\)

Решение:

1. Упростим второе уравнение: Используем свойство логарифмов \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\).
   \(\log_3 135 - \log_3 5 = \log_3 \frac{135}{5} = \log_3 27\).
   Так как \(3^3 = 27\), то \(\log_3 27 = 3\).
   Второе уравнение системы принимает вид: \(2x + y = 3\).

2. Теперь система выглядит так:
   \(\begin{cases} 2y - 3x = 6 \\ 2x + y = 3 \end{cases}\)

3. Решим систему методом подстановки или сложения. Выберем метод подстановки. Выразим \(y\) из второго уравнения:
   \(y = 3 - 2x\).

4. Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
   \(2(3 - 2x) - 3x = 6\)
   \(6 - 4x - 3x = 6\)
   \(6 - 7x = 6\)

5. Решим полученное уравнение относительно \(x\):
   \(-7x = 6 - 6\)
   \(-7x = 0\)
   \(x = 0\).

6. Теперь найдем \(y\), подставив \(x = 0\) в выражение для \(y\):
   \(y = 3 - 2(0)\)
   \(y = 3 - 0\)
   \(y = 3\).

7. Проверим полученное решение, подставив \(x=0\) и \(y=3\) в исходную систему.
   Первое уравнение: \(2(3) - 3(0) = 6 - 0 = 6\). Верно.
   Второе уравнение: \(2(0) + 3 = 0 + 3 = 3\). Верно.

Ответ: \(x = 0\), \(y = 3\).

Задание 16

Найдите значение выражения: \(\frac{\sin 75^\circ + \sin 45^\circ}{\sin 285^\circ}\).

Решение:

1. Преобразуем числитель: Используем формулу суммы синусов: \(\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\).
   \(\sin 75^\circ + \sin 45^\circ = 2 \sin \frac{75^\circ + 45^\circ}{2} \cos \frac{75^\circ - 45^\circ}{2}\)
   \(= 2 \sin \frac{120^\circ}{2} \cos \frac{30^\circ}{2}\)
   \(= 2 \sin 60^\circ \cos 15^\circ\).

2. Вычислим значения синусов и косинусов:
   \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
   Для \(\cos 15^\circ\) можно использовать формулу косинуса половинного угла или разности углов. Например, \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\).
   \(\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ\)
   \(= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

3. Подставим значения в числитель:
   Числитель \(= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\).

4. Преобразуем знаменатель: \(\sin 285^\circ\).
   \(285^\circ = 360^\circ - 75^\circ\). Так как синус имеет период \(360^\circ\), \(\sin 285^\circ = \sin(360^\circ - 75^\circ) = -\sin 75^\circ\).
   Также \(285^\circ = 270^\circ + 15^\circ\). \(\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos \alpha\).
   \(\sin 285^\circ = -\cos 15^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

5. Вычислим значение всего выражения:
   \(\frac{\sin 75^\circ + \sin 45^\circ}{\sin 285^\circ} = \frac{2 \sin 60^\circ \cos 15^\circ}{-\cos 15^\circ}\).
   Сокращаем \(\cos 15^\circ\) (так как \(\cos 15^\circ \neq 0\)):
   \(= \frac{2 \sin 60^\circ}{-1} = -2 \sin 60^\circ\).

6. Подставим значение \(\sin 60^\circ\):
   \(= -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\).

Ответ: \(-\sqrt{3}\).