Степенные ряды: определение радиуса сходимости и нахождение суммы
Homi
Задание 6
Определение: Бесконечный степенной ряд \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\) сходится, если существует такое действительное число \(R > 0\), что при \(|x-c| < R\) ряд сходится абсолютно, а при \(|x-c| > R\) ряд расходится. Число \(R\) называется радиусом сходимости.
Условие: Определите диапазон \(x\) и найдите сумму следующих степенных рядов:
\(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots + (-1)^n x^{2n} + \dots\)
Решение:
Данный ряд является геометрическим рядом с первым членом \(a = 1\) и общим отношением \(r = -x^2\).
Геометрический ряд сходится, когда \(|r| < 1\).
В данном случае, условие сходимости: \(|-x^2| < 1\).
Это эквивалентно \(x^2 < 1\), что означает \(|x| < 1\).
Сумма бесконечного геометрического ряда равна \(\frac{a}{1-r}\).
Следовательно, сумма данного ряда равна:
\(S = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}\)
Ответ:
Диапазон сходимости: \(|x| < 1\).
Сумма ряда: \(\frac{1}{1 + x^2}\).
Задание 15
Условие: Определите диапазон \(x\) и найдите сумму следующих степенных рядов:
\(1 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{27}x^3 + \dots\)
Решение:
Данный ряд можно представить в виде:
\(S = 1 + \frac{x}{3} + \left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{x}{3}\right)^3 + \dots\)
Это геометрический ряд с первым членом \(a = 1\) и общим отношением \(r = \frac{x}{3}\).
Геометрический ряд сходится, когда \(|r| < 1\).
В данном случае, условие сходимости: \(\left|\frac{x}{3}\right| < 1\).
Это эквивалентно \(|x| < 3\).
Сумма бесконечного геометрического ряда равна \(\frac{a}{1-r}\).
Следовательно, сумма данного ряда равна:
\(S = \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = \frac{1}{\frac{3-x}{3}} = \frac{3}{3-x}\)
Ответ:
Диапазон сходимости: \(|x| < 3\).
Сумма ряда: \(\frac{3}{3-x}\).
Homi
