Решение задач по тригонометрии, логарифмам и неравенствам

Конечно, я помогу тебе с решением задач с 4 по 16.

Задание 4

Упростите выражение и найдите его значение:
\(\sin 60^\circ \cdot \cos 20^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 20^\circ\)

Решение:
Это выражение представляет собой формулу синуса суммы двух углов: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\).
В данном случае \(\alpha = 60^\circ\) и \(\beta = 20^\circ\).

Применяем формулу:
\(\sin 60^\circ \cdot \cos 20^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 20^\circ = \sin(60^\circ + 20^\circ) = \sin 80^\circ\).

Ответ: \(\sin 80^\circ\)

Задание 5

Найдите значение выражения: \(\log_7 35 + \log_7 9,8\)

Решение:
Используем свойство логарифмов: \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\).
Здесь \(a=7\), \(x=35\), \(y=9,8\).

\(\log_7 35 + \log_7 9,8 = \log_7 (35 \cdot 9,8)\)

Вычислим произведение:
\(35 \cdot 9,8 = 35 \cdot \frac{98}{10} = 35 \cdot \frac{49}{5} = 7 \cdot 49 = 343\).

Теперь вычислим логарифм:
\(\log_7 343\).
Нам нужно найти такое число \(x\), что \(7^x = 343\).
Мы знаем, что \(7^1 = 7\), \(7^2 = 49\), \(7^3 = 49 \cdot 7 = 343\).
Следовательно, \(x=3\).

Ответ: 3

Задание 6

Решите неравенство: \(\frac{(x-7)(x+8)}{2x+1} > 0\)

Решение:
Для решения рационального неравенства найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя:
\(x-7 = 0 \implies x = 7\)
\(x+8 = 0 \implies x = -8\)

Корень знаменателя:
\(2x+1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}\)

Теперь отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале. Точки \(-8\) и \(7\) не включаются в решение, так как неравенство строгое. Точка \(-\frac{1}{2}\) также не включается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Интервалы: \((-\infty, -8)\), \((-8, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, 7)\), \((7, +\infty)\).

Проверим знак выражения в каждом интервале:
1. Возьмем \(x = -10\) (интервал \((-\infty, -8)\)):
\(\frac{(-10-7)(-10+8)}{2(-10)+1} = \frac{(-17)(-2)}{-20+1} = \frac{34}{-19} < 0\).
2. Возьмем \(x = -1\) (интервал \((-8, -\frac{1}{2})\)):
\(\frac{(-1-7)(-1+8)}{2(-1)+1} = \frac{(-8)(7)}{-2+1} = \frac{-56}{-1} = 56 > 0\).
3. Возьмем \(x = 0\) (интервал \((-\frac{1}{2}, 7)\)):
\(\frac{(0-7)(0+8)}{2(0)+1} = \frac{(-7)(8)}{1} = -56 < 0\).
4. Возьмем \(x = 10\) (интервал \((7, +\infty)\)):
\(\frac{(10-7)(10+8)}{2(10)+1} = \frac{(3)(18)}{20+1} = \frac{54}{21} > 0\).

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это происходит в интервалах \((-8, -\frac{1}{2})\) и \((7, +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-8; -\frac{1}{2}) \cup (7; +\infty)\)