Решение задач с обыкновенными и смешанными дробями

Привет! Давай решим эти задания по порядку.

Задание 194

Запишите частное в виде дроби и выделите из полученной дроби целую и дробную части.

1) 9 : 4
\(\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\)

2) 48 : 7
\(\frac{48}{7} = 6\frac{6}{7}\)

3) 43 : 12
\(\frac{43}{12} = 3\frac{7}{12}\)

Ответ:
1) \(2\frac{1}{4}\)
2) \(6\frac{6}{7}\)
3) \(3\frac{7}{12}\)

Задание 195

Запишите в виде неправильной дроби число.

1) \(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\)
2) \(3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}\)
3) \(5\frac{12}{25} = \frac{5 \cdot 25 + 12}{25} = \frac{137}{25}\)
4) \(20\frac{4}{9} = \frac{20 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{184}{9}\)

Ответ:
1) \(\frac{3}{2}\)
2) \(\frac{23}{7}\)
3) \(\frac{137}{25}\)
4) \(\frac{184}{9}\)

Задание 196

Выполните действия:

1) \(6 + \frac{5}{13} = \frac{6 \cdot 13}{13} + \frac{5}{13} = \frac{78 + 5}{13} = \frac{83}{13}\)

2) \(\frac{6}{57} + 4 = \frac{6}{57} + \frac{4 \cdot 57}{57} = \frac{6 + 228}{57} = \frac{234}{57} = \frac{78}{19}\)

3) \(6\frac{4}{5} + \frac{5}{9} = \frac{6 \cdot 5 + 4}{5} + \frac{5}{9} = \frac{34}{5} + \frac{5}{9} = \frac{34 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{306}{45} + \frac{25}{45} = \frac{331}{45}\)

Ответ:
1) \(\frac{83}{13}\)
2) \(\frac{78}{19}\)
3) \(\frac{331}{45}\)

Конечно! Вот алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также примеры:

Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей. НОЗ - это наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей.

2. Привести каждую дробь к общему знаменателю. Для этого нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби на такой множитель, чтобы знаменатель стал равен НОЗ. Этот множитель можно найти, разделив НОЗ на исходный знаменатель дроби.

3. Сложить или вычесть числители, оставив общий знаменатель без изменений.

4. Упростить полученную дробь, если это возможно.

Примеры:

Пример 1: Сложение

\(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\)

1. Находим НОЗ для 4 и 3. НОЗ = 12.

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

   • \(\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}\)
   • \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}\)

3. Складываем числители:

   \(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12}\)

4. Дробь \(\frac{11}{12}\) нельзя упростить.

Ответ: \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12}\)

Пример 2: Вычитание

\(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\)

1. Находим НОЗ для 6 и 3. НОЗ = 6.

2. Приводим дроби к общему знаменателю (первая дробь уже имеет нужный знаменатель):

   • \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}\)

3. Вычитаем числители:

   \(\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5 - 2}{6} = \frac{3}{6}\)

4. Упрощаем дробь:

   \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)

Пример 3: Сложение с участием целого числа

\(2 + \frac{3}{5}\)

1. Представляем целое число в виде дроби со знаменателем 1:
   \(2 = \frac{2}{1}\)

2. Находим НОЗ для 1 и 5. НОЗ = 5.

3. Приводим дроби к общему знаменателю:

   • \(\frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{10}{5}\)
   • \(\frac{3}{5}\) (уже имеет нужный знаменатель)

4. Складываем числители:

   \(\frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}\)

5. Выделяем целую часть (если нужно):

   \(\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}\)

Ответ: \(2 + \frac{3}{5} = 2\frac{3}{5}\) или \(\frac{13}{5}\)

Задание 196 (продолжение)

4) \(11\frac{8}{11} - 3\frac{3}{11} = (11 - 3) + (\frac{8}{11} - \frac{3}{11}) = 8 + \frac{5}{11} = 8\frac{5}{11}\)

5) \(8\frac{7}{18} + 7\frac{5}{18} - 4\frac{11}{18} = (8+7-4) + (\frac{7}{18} + \frac{5}{18} - \frac{11}{18}) = 11 + \frac{7+5-11}{18} = 11 + \frac{1}{18} = 11\frac{1}{18}\)

6) \(13\frac{6}{10} - 5\frac{3}{10} + 16\frac{1}{10} = (13 - 5 + 16) + (\frac{6}{10} - \frac{3}{10} + \frac{1}{10}) = 24 + \frac{6-3+1}{10} = 24 + \frac{4}{10} = 24\frac{2}{5}\)

Ответ:
4) \(8\frac{5}{11}\)
5) \(11\frac{1}{18}\)
6) \(24\frac{2}{5}\)

Задание 197

1) \(4\frac{13}{17} + 5\frac{4}{17} = (4+5) + (\frac{13}{17} + \frac{4}{17}) = 9 + \frac{17}{17} = 9 + 1 = 10\)

2) \(3\frac{8}{11} + 2\frac{6}{11} = (3+2) + (\frac{8}{11} + \frac{6}{11}) = 5 + \frac{14}{11} = 5 + 1\frac{3}{11} = 6\frac{3}{11}\)

3) \(1 - \frac{16}{21} = \frac{21}{21} - \frac{16}{21} = \frac{21-16}{21} = \frac{5}{21}\)

Ответ:
1) 10
2) \(6\frac{3}{11}\)
3) \(\frac{5}{21}\)

Давай разберем решение задания 197, пример 2, максимально подробно:

Задание: \(3\frac{8}{11} + 2\frac{6}{11}\)

Пошаговое решение:

1. Представляем смешанные числа в виде суммы целой и дробной части:

   • Смешанное число \(3\frac{8}{11}\) означает \(3 + \frac{8}{11}\)
   • Смешанное число \(2\frac{6}{11}\) означает \(2 + \frac{6}{11}\)
   • Таким образом, выражение можно переписать как: \((3 + \frac{8}{11}) + (2 + \frac{6}{11})\)

2. Группируем целые и дробные части:

   • Переставляем слагаемые, чтобы сгруппировать целые числа вместе и дроби вместе: \((3 + 2) + (\frac{8}{11} + \frac{6}{11})\)

3. Складываем целые числа:

   • \(3 + 2 = 5\)
   • Теперь у нас есть: \(5 + (\frac{8}{11} + \frac{6}{11})\)

4. Складываем дроби:

   • Так как у дробей одинаковый знаменатель (11), мы можем просто сложить числители: \(\frac{8}{11} + \frac{6}{11} = \frac{8+6}{11} = \frac{14}{11}\)

5. Получаем сумму целого числа и дроби:

   • Теперь у нас есть: \(5 + \frac{14}{11}\)

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число (если необходимо):

   • Дробь \(\frac{14}{11}\) является неправильной, так как числитель больше знаменателя.
   • Делим 14 на 11: \(14 \div 11 = 1\) (целая часть) и \(14 - 11 = 3\) (остаток)
   • Значит, \(\frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}\)

7. Складываем целую часть, полученную из дроби, с исходной целой частью:

   • \(5 + 1\frac{3}{11} = (5 + 1) + \frac{3}{11} = 6 + \frac{3}{11} = 6\frac{3}{11}\)

Окончательный ответ:

\(3\frac{8}{11} + 2\frac{6}{11} = 6\frac{3}{11}\)

Использованные правила и формулы:

• Сложение смешанных чисел: \((a\frac{b}{c} + d\frac{e}{c}) = (a+d) + (\frac{b}{c} + \frac{e}{c})\) , если знаменатели одинаковые.
• Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: \(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}\)
• Преобразование неправильной дроби в смешанное число: Если \(\frac{a}{b}\) — неправильная дробь (a > b), то \(\frac{a}{b} = q\frac{r}{b}\), где q — целая часть от деления a на b, а r — остаток от деления a на b.

Пожалуйста, укажите, решение какой задачи вы хотите увидеть максимально подробно. Номер задачи?