Вычисление суммы биномиальных коэффициентов C(21, 18) + C(19, 7)

Задание 2

Условие: Вычислите: \(C_{21}^{18} + C_{19}^{7}\).

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов (сочетаний). Формула сочетаний \(C_n^k\) (читается "эн по ка, где k") выглядит следующим образом:

\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

где:
* \(n\) — общее количество элементов.
* \(k\) — количество выбираемых элементов.
* \(n!\) (эн факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\) (\(n! = 1 \times 2 \times \dots \times n\)).

Шаг 1: Вычисляем \(C_{21}^{18}\)

Используем формулу:
\(C_{21}^{18} = \frac{21!}{18!(21-18)!} = \frac{21!}{18!3!}\)

Упростим, раскрыв \(21!\) до \(18!\):
\(C_{21}^{18} = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18!}{18! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1}\)

Произведем вычисления:
\(C_{21}^{18} = \frac{21}{3} \times \frac{20}{2} \times 19 = 7 \times 10 \times 19 = 70 \times 19\)

\(70 \times 19 = 70 \times (20 - 1) = 1400 - 70 = 1330\)

Итак, \(C_{21}^{18} = 1330\).

Шаг 2: Вычисляем \(C_{19}^{7}\)

Используем формулу:
\(C_{19}^{7} = \frac{19!}{7!(19-7)!} = \frac{19!}{7!12!}\)

Упростим, раскрыв \(19!\) до \(12!\):
\(C_{19}^{7} = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!}{7! \times 12!} = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

Теперь произведем сокращения и вычисления:
* \(7 \times 2 = 14\), сокращаем 14 в числителе и знаменателе.
* \(6 \times 3 = 18\), сокращаем 18 в числителе и знаменателе.
* \(5 \times 4 = 20\). Можно сократить 16 и 15, но проще найти другие варианты.

Давайте перегруппируем:
\(C_{19}^{7} = 19 \times \frac{18}{6 \times 3} \times 17 \times \frac{16}{4 \times 2} \times \frac{15}{5} \times \frac{14}{7} \times 13\)
\(C_{19}^{7} = 19 \times 1 \times 17 \times 2 \times 3 \times 2 \times 13\)
\(C_{19}^{7} = 19 \times 17 \times (2 \times 3 \times 2) \times 13\)
\(C_{19}^{7} = 19 \times 17 \times 12 \times 13\)

Выполним умножение:
\(19 \times 17 = 323\)
\(12 \times 13 = 156\)
\(323 \times 156\)

323
x 156

1938 (323 * 6)
16150 (323 * 50)
32300 (323 * 100)

50388

Итак, \(C_{19}^{7} = 50388\).

Шаг 3: Складываем результаты

Теперь сложим полученные значения:
\(C_{21}^{18} + C_{19}^{7} = 1330 + 50388\)

\(1330 + 50388 = 51718\)

Окончательный ответ: 51718