Разбор задач по геометрии: Вписанные и описанные четырехугольники

Давай разберем задачи из Варианта 2 по очереди.

Задача 1

Условие: В четырехугольнике \(ABCD\) \(\angle A = 80^\circ\). Сколько градусов должен составлять \(\angle C\), чтобы около четырехугольника можно было описать окружность?
* Теория: Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\).
* Решение:
$\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)$
$\(\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\)$
* Ответ: б) \(100^\circ\)

Задача 2

Условие: Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность (рис. 1), \(\angle B = 110^\circ\), \(\angle CAD = 50^\circ\). Найдите \(\angle ACD\).
* Решение:
1. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(180^\circ\):
$\(\angle B + \angle D = 180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)$
2. Рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\):
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Нам известны \(\angle D = 70^\circ\) и \(\angle CAD = 50^\circ\):
$\(\angle ACD = 180^\circ - (\angle D + \angle CAD) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)$
* Ответ: в) \(60^\circ\)

Задача 3

Условие: Четырехугольник \(ABCD\) описан около окружности (рис. 2), \(BC = 13\) см, \(AD = 22\) см, \(AB\) относится к \(CD\) как \(4:3\). Найдите длину стороны \(CD\).
* Теория: В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны:
$\(AB + CD = BC + AD\)$
* Решение:
1. Подставим известные значения:
$\(AB + CD = 13 + 22 = 35 \text{ см}\)$
2. Пусть \(AB = 4x\), а \(CD = 3x\). Тогда:
$\(4x + 3x = 35\)$
$\(7x = 35 \implies x = 5\)$
3. Находим длину стороны \(CD\):
$\(CD = 3x = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}\)$
* Ответ: а) \(15\) см

Задача 4

Условие: Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность с диаметром, равным \(24\) см, \(\angle D = 60^\circ\) (рис. 3). Диагональ \(AC\) трапеции перпендикулярна ее боковой стороне \(CD\). Найдите длину стороны \(AB\).
* Решение:
1. Так как трапеция вписанная, она равнобедренная. Значит, \(AB = CD\) и \(\angle C = \angle D = 60^\circ\).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ACD\) (\(\angle ACD = 90^\circ\), так как \(AC \perp CD\)):
В нем гипотенуза \(AD\) является диаметром окружности, то есть \(AD = 24\) см.
Угол \(\angle D = 60^\circ\). Найдем катет \(CD\):
$\(CD = AD \cdot \cos(\angle D) = 24 \cdot \cos(60^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \text{ см}\)$
3. Поскольку трапеция равнобедренная, \(AB = CD = 12\) см.
* Ответ: \(12\) см

Задача 5

Условие: В прямоугольную трапецию с большей боковой стороной, равной \(10\) см, вписана окружность с радиусом, равным \(4\) см (рис. 4). Найдите площадь трапеции.
* Решение:
1. Высота прямоугольной трапеции равна диаметру вписанной окружности:
$\(h = 2 \cdot r = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}\)$
2. Большая боковая сторона трапеции равна \(10\) см (это наклонная сторона \(CD\)).
3. Опустим высоту из вершины \(C\) на большее основание \(AD\). Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой \(10\) и катетом (высотой) \(8\). По теореме Пифагора найдем проекцию боковой стороны на основание:
$\(\text{проекция} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\)$
4. Свойство описанного четырехугольника: сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$\(AD + BC = AB + CD\)$
Высота трапеции \(AB = 8\), боковая сторона \(CD = 10\), значит:
$\(AD + BC = 8 + 10 = 18 \text{ см}\)$
5. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$\(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72 \text{ см}^2\)$
* Ответ: \(72 \text{ см}^2\)