Решение неравенств с корнями

Задание 1: Решить неравенство \(\sqrt{x^2+x+1} < \sqrt{(x-4)^2}\)

Решение:
1) Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны
* \(x^2+x+1 ≥ 0\) - выполняется при всех x (сумма квадрата и линейной функции со свободным членом >0)
* \((x-4)^2 ≥ 0\) - выполняется при всех x

2) Преобразуем неравенство:
* \(\sqrt{x^2+x+1} < \sqrt{(x-4)^2}\)
* \(\sqrt{x^2+x+1} < |x-4|\)

3) Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части ≥ 0):
* \(x^2+x+1 < (x-4)^2\)
* \(x^2+x+1 < x^2-8x+16\)
* \(x^2+x+1 < x^2-8x+16\)
* \(x+1 < -8x+16\)
* \(9x < 15\)
* \(x < \frac{5}{3}\)

Ответ: \(x < \frac{5}{3}\)

Задание 2: Решить неравенство \(\sqrt{2x^2+5x+1} > \sqrt{x^2-2x+1}\)

Решение:
1) Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны
* \(2x^2+5x+1 ≥ 0\) - выполняется при всех x (старший коэффициент >0)
* \(x^2-2x+1 = (x-1)^2 ≥ 0\) - выполняется при всех x

2) Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части ≥ 0):
* \(2x^2+5x+1 > x^2-2x+1\)
* \(2x^2+5x+1 > x^2-2x+1\)
* \(x^2+7x > 0\)
* \(x(x+7) > 0\)

3) Решаем методом интервалов:
* \(x < -7\) или \(x > 0\)

Ответ: \(x ∈ (-∞;-7)∪(0;+∞)\)

Задание 3: Решить неравенство \(\sqrt[3]{x^2-1} < \sqrt[3]{63}\)

Решение:
1) Важно! Кубический корень определен для всех действительных чисел

2) Так как функция \(\sqrt[3]{x}\) возрастает на всей области определения, неравенство можно решать без дополнительных преобразований:
* \(\sqrt[3]{x^2-1} < \sqrt[3]{63}\)
* \(x^2-1 < 63\)
* \(x^2 < 64\)
* \(-8 < x < 8\)

Ответ: \(x ∈ (-8;8)\)

Задание 4: Решить неравенство \(\sqrt{7x+11} > 12\)

Решение:
1) Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательно
* \(7x+11 ≥ 0\)
* \(x ≥ -\frac{11}{7}\)

2) Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части ≥ 0):
* \(7x+11 > 144\)
* \(7x > 133\)
* \(x > 19\)

3) Учитывая ОДЗ, получаем:
* \(x > 19\) (т.к. 19 > -\frac{11}{7}$, достаточно взять только правую границу)

Ответ: \(x ∈ (19;+∞)\)

Задание 4: Решить неравенство \(\sqrt{7x+11} > 12\)

Давайте разберем решение более подробно:

1️⃣ Определяем ОДЗ (область допустимых значений)
* Под квадратным корнем выражение должно быть неотрицательным:
* \(7x + 11 ≥ 0\)
* \(7x ≥ -11\)
* \(x ≥ -\frac{11}{7}\) ≈ -1.57

2️⃣ Преобразование неравенства
* Исходное неравенство: \(\sqrt{7x+11} > 12\)
* Так как обе части положительны (правая часть = 12 > 0), можем возвести в квадрат
* При возведении в квадрат знак неравенства не меняется, так как обе части > 0

3️⃣ Решение полученного неравенства
* \(7x + 11 > 144\) (после возведения в квадрат)
* \(7x > 144 - 11\)
* \(7x > 133\)
* \(x > 19\)

4️⃣ Проверка с ОДЗ
* Получили \(x > 19\)
* Сравниваем с ОДЗ: \(x ≥ -\frac{11}{7}\)
* 19 > -\frac{11}{7}$, значит все значения \(x > 19\) удовлетворяют и условию ОДЗ

🎯 Ответ: \(x ∈ (19; +∞)\)

Важные моменты:
* При решении неравенств с корнями всегда проверяем ОДЗ
* Возводить в квадрат можно только если обе части неравенства положительны
* После возведения в квадрат знак неравенства сохраняется

На графике выше показано:
* Синяя кривая - график функции \(y = \sqrt{7x+11}\)
* Пунктирная горизонтальная линия - прямая \(y = 12\)
* Красная вертикальная линия - граница решения \(x = 19\)
* Область решения находится справа от красной линии, где синяя кривая лежит выше пунктирной прямой

График наглядно показывает, что:
1. При \(x < -\frac{11}{7}\) функция не определена
2. При \(x > 19\) значение функции больше 12
3. Решением является промежуток \((19; +∞)\)