Задание 1: Решить неравенство $\sqrt{x^2+x+1} < \sqrt{(x-4)^2}$

Решение:
1) Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны
* $x^2+x+1 ≥ 0$ - выполняется при всех x (сумма квадрата и линейной функции со свободным членом >0)
* $(x-4)^2 ≥ 0$ - выполняется при всех x

2) Преобразуем неравенство:
* $\sqrt{x^2+x+1} < \sqrt{(x-4)^2}$
* $\sqrt{x^2+x+1} < |x-4|$

3) Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части ≥ 0):
* $x^2+x+1 < (x-4)^2$
* $x^2+x+1 < x^2-8x+16$
* $x^2+x+1 < x^2-8x+16$
* $x+1 < -8x+16$
* $9x < 15$
* $x < \frac{5}{3}$

Ответ: $x < \frac{5}{3}$

Задание 2: Решить неравенство $\sqrt{2x^2+5x+1} > \sqrt{x^2-2x+1}$

Решение:
1) Область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательны
* $2x^2+5x+1 ≥ 0$ - выполняется при всех x (старший коэффициент >0)
* $x^2-2x+1 = (x-1)^2 ≥ 0$ - выполняется при всех x

2) Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части ≥ 0):
* $2x^2+5x+1 > x^2-2x+1$
* $2x^2+5x+1 > x^2-2x+1$
* $x^2+7x > 0$
* $x(x+7) > 0$

3) Решаем методом интервалов:
* $x < -7$ или $x > 0$

Ответ: $x ∈ (-∞;-7)∪(0;+∞)$

Задание 3: Решить неравенство $\sqrt[3]{x^2-1} < \sqrt[3]{63}$

Решение:
1) Важно! Кубический корень определен для всех действительных чисел

2) Так как функция $\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей области определения, неравенство можно решать без дополнительных преобразований:
* $\sqrt[3]{x^2-1} < \sqrt[3]{63}$
* $x^2-1 < 63$
* $x^2 < 64$
* $-8 < x < 8$

Ответ: $x ∈ (-8;8)$

Задание 4: Решить неравенство $\sqrt{7x+11} > 12$

Решение:
1) Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательно
* $7x+11 ≥ 0$
* $x ≥ -\frac{11}{7}$

2) Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части ≥ 0):
* $7x+11 > 144$
* $7x > 133$
* $x > 19$

3) Учитывая ОДЗ, получаем:
* $x > 19$ (т.к. 19 > -\frac{11}{7}$, достаточно взять только правую границу)

Ответ: $x ∈ (19;+∞)$

Задание 4: Решить неравенство $\sqrt{7x+11} > 12$

Давайте разберем решение более подробно:

1️⃣ Определяем ОДЗ (область допустимых значений)
* Под квадратным корнем выражение должно быть неотрицательным:
* $7x + 11 ≥ 0$
* $7x ≥ -11$
* $x ≥ -\frac{11}{7}$ ≈ -1.57

2️⃣ Преобразование неравенства
* Исходное неравенство: $\sqrt{7x+11} > 12$
* Так как обе части положительны (правая часть = 12 > 0), можем возвести в квадрат
* При возведении в квадрат знак неравенства не меняется, так как обе части > 0

3️⃣ Решение полученного неравенства
* $7x + 11 > 144$ (после возведения в квадрат)
* $7x > 144 - 11$
* $7x > 133$
* $x > 19$

4️⃣ Проверка с ОДЗ
* Получили $x > 19$
* Сравниваем с ОДЗ: $x ≥ -\frac{11}{7}$
* 19 > -\frac{11}{7}$, значит все значения $x > 19$ удовлетворяют и условию ОДЗ

🎯 Ответ: $x ∈ (19; +∞)$

Важные моменты:
* При решении неравенств с корнями всегда проверяем ОДЗ
* Возводить в квадрат можно только если обе части неравенства положительны
* После возведения в квадрат знак неравенства сохраняется

На графике выше показано:
* Синяя кривая - график функции $y = \sqrt{7x+11}$
* Пунктирная горизонтальная линия - прямая $y = 12$
* Красная вертикальная линия - граница решения $x = 19$
* Область решения находится справа от красной линии, где синяя кривая лежит выше пунктирной прямой

График наглядно показывает, что:
1. При $x < -\frac{11}{7}$ функция не определена
2. При $x > 19$ значение функции больше 12
3. Решением является промежуток $(19; +∞)$