Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми y=sin(x) и y=cos(x)

Задание 114

Условие: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\). Выполнить чертеж.

Решение:

1. Находим точки пересечения кривых:
   Приравниваем уравнения кривых:
   $$ \sin x = \cos x $$
   Разделим обе части на \(\cos x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\)):
   $$ \operatorname{tg} x = 1 $$
   Основные решения этого уравнения:
   $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$
   На интервале \([0, 2\pi]\) точки пересечения: \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{5\pi}{4}\).

2. Определяем, какая функция больше на интервалах между точками пересечения:
   Рассмотрим интервал \([0, 2\pi]\).

   • На интервале \([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\) функция \(\cos x\) больше или равна \(\sin x\). Например, при \(x = \frac{\pi}{2}\), \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\). При \(x = \pi\), \(\cos(\pi) = -1\) и \(\sin(\pi) = 0\).
   • На интервалах \([\frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]\) (или, что то же самое, \([\frac{5\pi}{4}, 2\pi] \cup [0, \frac{\pi}{4}]\)) функция \(\sin x\) больше или равна \(\cos x\). Например, при \(x = \frac{3\pi}{2}\), \(\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1\) и \(\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0\).

   Нас интересует площадь фигуры, ограниченной кривыми. Это означает, что мы ищем замкнутую область. На одном периоде, где кривые пересекаются дважды, они образуют одну или несколько замкнутых областей. На интервале \([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\) площадь ограничена сверху кривой \(y = \cos x\) и снизу кривой \(y = \sin x\).

3. Вычисляем площадь:
   Площадь \(S\) фигуры, ограниченной двумя кривыми \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) на интервале \([a, b]\), где \(f(x) \ge g(x)\) на этом интервале, вычисляется по формуле:
   $$ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx $$
   В нашем случае, на интервале \([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\), \(f(x) = \cos x\) и \(g(x) = \sin x\).
   $$ S = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\cos x - \sin x) dx $$
   Вычисляем интеграл:
   $$ S = [\sin x - (-\cos x)]{\pi/4}^{5\pi/4} = [\sin x + \cos x] $$}^{5\pi/4
   Подставляем пределы интегрирования:
   $$ S = (\sin(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4})) - (\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) $$
   Вычисляем значения тригонометрических функций:
   \(\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   Подставляем значения:
   $$ S = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) $$
   $$ S = (-\sqrt{2}) - (\sqrt{2}) $$
   $$ S = -2\sqrt{2} $$
   Площадь не может быть отрицательной. Это означает, что мы выбрали неверный порядок функций или интервал.

   Давайте пересмотрим интервал. Кривые \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) пересекаются, образуя фигуры. Если мы возьмем интервал, где \(\sin x \ge \cos x\), то площадь будет положительной.

   Рассмотрим интервал, где \(\sin x \ge \cos x\). Это происходит на \([\frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]\), но это слишком большой интервал. Нас интересует замкнутая область.

   Рассмотрим стандартный подход, когда мы находим все пересечения на каком-либо интервале (например, \([0, 2\pi]\)), а затем разбиваем интеграл, если порядок функций меняется.
   Пересечения: \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{5\pi}{4}\).

   • На интервале \([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\), \(\cos x \ge \sin x\). Площадь \(S_1 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = 2\sqrt{2}\) (как мы уже посчитали, только модуль).

   • Кривые также пересекаются в точке \(\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\). Между \(-\frac{3\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\) функция \(\sin x\) больше или равна \(\cos x\).
     Площадь \(S_2 = \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} (\sin x - \cos x) dx\).
     \(S_2 = [-\cos x - \sin x]_{-3\pi/4}^{\pi/4}\)
     \(S_2 = (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) - (-\cos(-\frac{3\pi}{4}) - \sin(-\frac{3\pi}{4}))\)
     \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
     \(\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
     \(S_2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}))\)
     \(S_2 = (-\sqrt{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}\). Опять отрицательное.

   Важно: Площадь фигуры, ограниченной кривыми, обычно подразумевает однозначно определенную замкнутую область. Часто это первая область, начинающаяся от точки пересечения.

   В данном случае, мы ищем площадь между кривыми \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\). Эти кривые пересекаются бесконечное число раз. Обычно в задачах такого типа подразумевается площадь одной из "петель" или областей, ограниченных соседними точками пересечения.

   Рассмотрим интервал \([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\), где \(\cos x \ge \sin x\). Площадь этой области равна \(2\sqrt{2}\).
   Рассмотрим интервал \([\frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]\). На этом интервале \(\sin x \ge \cos x\).
   $$ S = \int_{5\pi/4}^{9\pi/4} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{5\pi/4}^{9\pi/4} $$
   \(9\pi/4 = 2\pi + \pi/4\).
   \(\sin(9\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\cos(9\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\cos(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   $$ S = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) $$
   $$ S = (-\sqrt{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} $$
   Похоже, что я снова ошибся в знаках или в понимании условия.

   Переосмыслим:
   Площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), находится как \(\int_a^b |f(x) - g(x)| dx\), где \(a\) и \(b\) - точки пересечения.
   Мы нашли точки пересечения \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\).
   Возьмем одну замкнутую область, например, между \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\).
   На этом интервале:
   - Если \(\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}\), то \(\cos x \ge \sin x\).
   - Если \(\frac{5\pi}{4} \le x \le \frac{9\pi}{4}\), то \(\sin x \ge \cos x\).

   Первая площадь \(S_1\) (где \(\cos x \ge \sin x\)):
   \(S_1 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\pi/4}^{5\pi/4}\)
   \(S_1 = (\sin(5\pi/4) + \cos(5\pi/4)) - (\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4))\)
   \(S_1 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}\).

   Ошибка в вычислениях или интерпретации!
   Проверим интеграл: \(\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x - (-\cos x) = \sin x + \cos x\). Это правильно.
   Проверим значения:
   \(\sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\cos(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   Подстановка: \((\mathbf{-}\frac{\sqrt{2}}{2} + \mathbf{-}\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = (-\sqrt{2}) - (\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}\).

   Возможно, я неправильно определил, где какая функция больше.
   Давайте проверим на графике.
   * \(y = \sin x\) проходит через \((0,0), (\pi/2, 1), (\pi, 0), (3\pi/2, -1), (2\pi, 0)\).
   * \(y = \cos x\) проходит через \((0,1), (\pi/2, 0), (\pi, -1), (3\pi/2, 0), (2\pi, 1)\).
   * Пересечение при \(\pi/4\). \(\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
   * Следующее пересечение при \(5\pi/4\). \(\sin(5\pi/4) = \cos(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

   На интервале \((\pi/4, 5\pi/4)\):
   * Возьмем \(x = \pi/2\): \(\sin(\pi/2) = 1\), \(\cos(\pi/2) = 0\). Здесь \(\sin x > \cos x\).
   * Возьмем \(x = \pi\): \(\sin(\pi) = 0\), \(\cos(\pi) = -1\). Здесь \(\sin x > \cos x\).
   Значит, на интервале \((\pi/4, 5\pi/4)\), функция \(\sin x\) находится выше \(\cos x\).

   Тогда площадь \(S\) должна вычисляться как:
   $$ S = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) dx $$
   Вычисляем интеграл:
   $$ S = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4} $$
   Подставляем пределы:
   $$ S = (-\cos(\frac{5\pi}{4}) - \sin(\frac{5\pi}{4})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) $$
   $$ S = (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) $$
   $$ S = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) $$
   $$ S = (\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}) $$
   $$ S = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $$

4. Выполнение чертежа:
   Необходимо построить графики функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\). Отметить точки их пересечения при \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{5\pi}{4}\). Заштриховать область между этими кривыми на указанном интервале.

   • На оси X отметить точки \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{5\pi}{4}\).
   • Построить кривую \(y = \sin x\).
   • Построить кривую \(y = \cos x\).
   • Визуально убедиться, что на интервале \([\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\) график \(\sin x\) лежит выше графика \(\cos x\).
   • Заштриховать область, ограниченную этими кривыми на данном интервале.

Окончательный ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\), равна \(2\sqrt{2}\).

Конечно, я помогу вам построить точный график и заштриховать искомую площадь.

Построение графика

Для построения точного графика нам нужно отметить ключевые точки и общую форму кривых.

1. Оси координат: Начертите оси X и Y.
2. Масштаб по оси X: Отметьте на оси X значения, связанные с нашими точками пересечения: \(0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\). Учтите, что \(\pi \approx 3.14\), поэтому \(\frac{\pi}{4} \approx 0.785\), \(\frac{5\pi}{4} \approx 3.925\).
3. Масштаб по оси Y: Отметьте на оси Y значения \(-1, 0, 1\).
4. График \(y = \sin x\):
   • Проходит через \((0, 0)\).
   • Достигает максимума \(1\) при \(x = \frac{\pi}{2}\).
   • Проходит через \((\pi, 0)\).
   • Достигает минимума \(-1\) при \(x = \frac{3\pi}{2}\).
   • Проходит через \((2\pi, 0)\).
   • Кривая плавно идет вверх от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), затем вниз до \(\pi\), затем до \(\frac{3\pi}{2}\), и снова вверх до \(2\pi\).
5. График \(y = \cos x\):
   • Начинается с максимума \(1\) при \(x = 0\).
   • Проходит через \((\frac{\pi}{2}, 0)\).
   • Достигает минимума \(-1\) при \(x = \pi\).
   • Проходит через \((\frac{3\pi}{2}, 0)\).
   • Достигает максимума \(1\) при \(x = 2\pi\).
   • Кривая плавно идет вниз от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), затем до \(\pi\), затем вверх до \(\frac{3\pi}{2}\), и снова вверх до \(2\pi\).
6. Точки пересечения:
   • Отметьте точки, где графики пересекаются:
     • При \(x = \frac{\pi}{4}\): \(y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\). Точка \((\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})\).
     • При \(x = \frac{5\pi}{4}\): \(y = \sin(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707\). Точка \((\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2})\).

Штриховка искомой площади

Мы вычислили, что площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, равна \(2\sqrt{2}\). Эта площадь соответствует области между графиками на интервале от \(x = \frac{\pi}{4}\) до \(x = \frac{5\pi}{4}\), где функция \(y = \sin x\) находится выше функции \(y = \cos x\).

Чтобы заштриховать эту область:

1. Найдите на графике точку пересечения при \(x = \frac{\pi}{4}\).
2. Найдите на графике точку пересечения при \(x = \frac{5\pi}{4}\).
3. Заштрихуйте область, которая ограничена:
   • Сверху кривой \(y = \sin x\).
   • Снизу кривой \(y = \cos x\).
   • Слева вертикальной линией \(x = \frac{\pi}{4}\).
   • Справа вертикальной линией \(x = \frac{5\pi}{4}\).

Визуальное представление:

Представьте себе, что вы смотрите на пересекающиеся волны. Одна волна (синус) идет вверх, другая (косинус) идет вниз. В точке \(\frac{\pi}{4}\) они встречаются. Затем синус продолжает идти вверх, а косинус идет вниз. В точке \(\frac{5\pi}{4}\) они снова встречаются. Область, которую мы ищем, — это "серп" или "полумесяц", образованный между этими двумя точками пересечения, где синяя линия (синус) находится выше красной линии (косинус).

Примерное описание графика:

• На интервале от \(0\) до \(\frac{\pi}{4}\): \(y = \cos x\) выше \(y = \sin x\).
• На интервале от \(\frac{\pi}{4}\) до \(\frac{5\pi}{4}\): \(y = \sin x\) выше \(y = \cos x\). Это наша искомая область.
• На интервале от \(\frac{5\pi}{4}\) до \(2\pi\): \(y = \cos x\) выше \(y = \sin x\).