Решение задач по геометрии: углы, окружности, хорды

Задание 1

Анализ: На рисунке 1 изображен угол, разделенный тремя лучами на четыре меньших угла. Нужно найти все острые углы. Острый угол — это угол, который меньше 90 градусов.

Решение:
1. Рассмотрим углы, образованные лучами, исходящими из точки B.
2. На рисунке видны следующие углы: \(\angle ABK\), \(\angle KBM\), \(\angle MBC\).
3. Также видны углы, образованные объединением лучей: \(\angle ABM\), \(\angle KBC\), \(\angle ABC\).
4. По виду на рисунке все эти углы являются острыми.
5. Перечислим все острые углы: \(\angle ABK\), \(\angle KBM\), \(\angle MBC\), \(\angle ABM\), \(\angle KBC\), \(\angle ABC\).

Ответ: Всего получилось 6 острых углов.

Задание 2

Анализ: Дана окружность с центром O. Хорды AC, CD и DB равны радиусу окружности. Диаметр равен 12 см. Нужно найти периметр четырехугольника ACDB.

Дано:
* Окружность с центром O.
* Хорды: \(AC = CD = DB\).
* \(AC = CD = DB = R\) (где R - радиус окружности).
* Диаметр \(D = 12\) см.

Найти: Периметр четырехугольника ACDB.

Решение:
1. Найдем радиус окружности. Радиус равен половине диаметра:
\(R = \frac{D}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}\).
2. Так как хорды AC, CD и DB равны радиусу, то:
\(AC = CD = DB = R = 6\) см.
3. Четырехугольник ACDB состоит из трех указанных хорд и хорды AB.
4. Хорда AB является диаметром окружности, так как она проходит через центр O и соединяет две точки на окружности. Следовательно, \(AB = D = 12\) см.
5. Периметр четырехугольника ACDB равен сумме длин всех его сторон:
\(P_{\text{ACDB}} = AC + CD + DB + AB\).
6. Подставим найденные значения:
\(P_{\text{ACDB}} = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 30 \text{ см}\).

Ответ: Периметр четырехугольника ACDB равен 30 см.

Задание 3

Анализ: На рисунке 3 даны три угла \(\angle 1\), \(\angle 2\), \(\angle 3\), которые образуют развернутый угол. Их отношение равно \(1:2:3\). Нужно найти величину угла \(\angle 3\).

Дано:
* \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\) (развернутый угол).
* \(\angle 1 : \angle 2 : \angle 3 = 1 : 2 : 3\).

Найти: \(\angle 3\).

Решение:
1. Обозначим величины углов через \(x\). Тогда:
* \(\angle 1 = 1x = x\)
* \(\angle 2 = 2x\)
* \(\angle 3 = 3x\)
2. Сумма этих углов равна 180 градусам:
\(x + 2x + 3x = 180^\circ\).
3. Сложим коэффициенты при \(x\):
\(6x = 180^\circ\).
4. Найдем значение \(x\):
\(x = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ\).
5. Теперь найдем величину угла \(\angle 3\):
\(\angle 3 = 3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ\).

Ответ: Угол \(\angle 3\) равен 90°.