Рациональные вычисления: Свойства сложения десятичных дробей

Здравствуйте! Рад помочь вам с этими заданиями. Давайте разберем их по порядку, как в настоящем классе.

Начнем с первого задания на странице.

Задание 90 (а)

Условие: Вычислите наиболее рациональным способом:
а) \(3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8\)

Теоретическая основа

Для решения этого примера мы будем использовать два основных свойства сложения:

1. Переместительное свойство: От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
   • Формула: \(a + b = b + a\)
2. Сочетательное свойство: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
   • Формула: \((a + b) + c = a + (b + c)\)

Рациональный способ — это значит найти такой порядок действий, который сделает вычисления проще. Обычно это означает группировку чисел, которые в сумме дают "круглое" число (например, 10, 20, 100 и т.д.) или целое число.

Пошаговое решение

1. Анализируем выражение:
   У нас есть четыре слагаемых: \(3,17\), \(10,2\), \(0,83\), \(9,8\).
   Давайте посмотрим на их дробные части: ,17, ,2, ,83, ,8.
   Заметим, что \(0,17 + 0,83 = 1,00\) и \(0,2 + 0,8 = 1,0\). Это идеальные пары для группировки!

2. Группируем слагаемые:
   Используя переместительное и сочетательное свойства, поменяем числа местами и сгруппируем их в удобные пары:
   \((3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8)\)

3. Вычисляем сумму в первой скобке:
   \(3,17 + 0,83\)

   • Складываем дробные части: \(0,17 + 0,83 = 1,00\).
   • Складываем целые части: \(3 + 0 = 3\).
   • Складываем результаты: \(3 + 1 = 4\).
   • Итак, \(3,17 + 0,83 = 4\).

4. Вычисляем сумму во второй скобке:
   \(10,2 + 9,8\)

   • Складываем дробные части: \(0,2 + 0,8 = 1,0\).
   • Складываем целые части: \(10 + 9 = 19\).
   • Складываем результаты: \(19 + 1 = 20\).
   • Итак, \(10,2 + 9,8 = 20\).

5. Находим финальную сумму:
   Теперь сложим результаты, полученные в скобках:
   \(4 + 20 = 24\).

Проверка

Давайте сложим числа по порядку, чтобы убедиться в правильности ответа:
\(3,17 + 10,2 = 13,37\)
\(13,37 + 0,83 = 14,20\)
\(14,20 + 9,8 = 24,00\)
Результаты совпадают, но рациональный способ был намного быстрее и проще для устного счета.

Окончательный ответ

\((3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8) = 4 + 20 = 24\)

Ответ: 24

Конечно, с удовольствием продолжим! Переходим к заданию №96.

Задание 96

В этом задании нам нужно найти значение выражения. Здесь ключевым будет использование распределительного свойства умножения.

Теоретическая основа

Распределительное свойство умножения (или, как его еще называют, закон дистрибутивности) гласит:

1. Относительно сложения: Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
   • Формула: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
2. Относительно вычитания: Чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
   • Формула: \(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\)

В наших примерах это свойство применяется в "обратную сторону": мы видим сумму или разность произведений с общим множителем и "выносим" этот общий множитель за скобки, чтобы упростить вычисления.

Задание 96 (а)

Условие: \(3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2\)

Пошаговое решение

1. Анализируем выражение:
   Мы видим сумму двух произведений: \((3,5 \cdot 6,8)\) и \((3,5 \cdot 3,2)\).
   Замечаем, что у них есть общий множитель — это число 3,5.

2. Применяем распределительное свойство:
   Выносим общий множитель 3,5 за скобки. В скобках останется сумма вторых множителей.
   \(3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2 = 3,5 \cdot (6,8 + 3,2)\)

3. Вычисляем выражение в скобках:
   Сложение в скобках дает "круглое" число, что очень удобно.
   \(6,8 + 3,2 = 10\)

4. Выполняем финальное умножение:
   Теперь умножаем общий множитель на результат, полученный в скобках.
   \(3,5 \cdot 10 = 35\)

Окончательный ответ

\(3,5 \cdot (6,8 + 3,2) = 3,5 \cdot 10 = 35\)

Ответ: 35

Задание 96 (б)

Условие: \(12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3\)

Пошаговое решение

1. Анализируем выражение:
   Это разность двух произведений: \((12,4 \cdot 14,3)\) и \((12,4 \cdot 4,3)\).
   Здесь тоже есть общий множитель — число 12,4.

2. Применяем распределительное свойство:
   Выносим 12,4 за скобки. В скобках останется разность вторых множителей.
   \(12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3 = 12,4 \cdot (14,3 - 4,3)\)

3. Вычисляем выражение в скобках:
   Вычитание в скобках также дает удобное "круглое" число.
   \(14,3 - 4,3 = 10\)

4. Выполняем финальное умножение:
   Умножаем общий множитель на результат из скобок.
   \(12,4 \cdot 10 = 124\)

Окончательный ответ

\(12,4 \cdot (14,3 - 4,3) = 12,4 \cdot 10 = 124\)

Ответ: 124

Отлично, продолжаем! Задание №97 очень похоже на предыдущее, так что мы сможем закрепить использование распределительного свойства.

Задание 97

Условие: Вычислите.

Это задание снова проверяет ваше умение применять распределительное свойство умножения, чтобы упростить вычисления. Давайте вспомним его основную идею: если в сумме или разности произведений есть общий множитель, его можно вынести за скобку.

• Формула: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\)
• Формула: \(a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)\)

Задание 97 (а)

Условие: \(15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91\)

Пошаговое решение

1. Находим общий множитель:
   В выражении есть два произведения: \((15,7 \cdot 3,09)\) и \((15,7 \cdot 2,91)\).
   Очевидно, что общий множитель здесь — это 15,7.

2. Выносим общий множитель за скобки:
   Применяем распределительное свойство. Число 15,7 ставим перед скобками, а в скобках записываем сумму оставшихся множителей.
   \(15,7 \cdot (3,09 + 2,91)\)

3. Вычисляем сумму в скобках:
   Это действие специально подобрано так, чтобы получился удобный результат.
   \(3,09 + 2,91\)

   • Складываем дробные части: \(0,09 + 0,91 = 1,00\).
   • Складываем целые части: \(3 + 2 = 5\).
   • Складываем результаты: \(5 + 1 = 6\).
   • Итак, \(3,09 + 2,91 = 6\).

4. Выполняем финальное умножение:
   Теперь осталось умножить 15,7 на 6.
   \(15,7 \cdot 6\)
   Можно посчитать в столбик:
   15,7 x 6 ------ 94,2
   \(15 \cdot 6 = 90\)
   \(0,7 \cdot 6 = 4,2\)
   \(90 + 4,2 = 94,2\)

Окончательный ответ

\(15,7 \cdot (3,09 + 2,91) = 15,7 \cdot 6 = 94,2\)

Ответ: 94,2

Задание 97 (б)

Условие: \(4,03 \cdot 27,9 - 17,9 \cdot 4,03\)

Пошаговое решение

1. Находим общий множитель:
   В выражении есть разность двух произведений: \((4,03 \cdot 27,9)\) и \((17,9 \cdot 4,03)\).
   Общий множитель здесь — 4,03. Обратите внимание, что он может стоять как на первом, так и на втором месте в произведении (от перемены мест множителей произведение не меняется).

2. Выносим общий множитель за скобки:
   Применяем распределительное свойство для вычитания.
   \(4,03 \cdot (27,9 - 17,9)\)

3. Вычисляем разность в скобках:
   Это действие также приводит к "круглому" числу.
   \(27,9 - 17,9 = 10\)

4. Выполняем финальное умножение:
   Умножение на 10 — одно из самых простых действий с десятичными дробями. Нужно просто перенести запятую на один знак вправо.
   \(4,03 \cdot 10 = 40,3\)

Окончательный ответ

\(4,03 \cdot (27,9 - 17,9) = 4,03 \cdot 10 = 40,3\)

Ответ: 40,3