Здравствуйте! Рад помочь вам с этими заданиями. Давайте разберем их по порядку, как в настоящем классе.

Начнем с первого задания на странице.

Задание 90 (а)

Условие: Вычислите наиболее рациональным способом:
а) $3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8$

Теоретическая основа

Для решения этого примера мы будем использовать два основных свойства сложения:

1. Переместительное свойство: От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
   • Формула: $a + b = b + a$
2. Сочетательное свойство: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
   • Формула: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Рациональный способ — это значит найти такой порядок действий, который сделает вычисления проще. Обычно это означает группировку чисел, которые в сумме дают "круглое" число (например, 10, 20, 100 и т.д.) или целое число.

Пошаговое решение

1. Анализируем выражение:
   У нас есть четыре слагаемых: $3,17$, $10,2$, $0,83$, $9,8$.
   Давайте посмотрим на их дробные части: ,17, ,2, ,83, ,8.
   Заметим, что $0,17 + 0,83 = 1,00$ и $0,2 + 0,8 = 1,0$. Это идеальные пары для группировки!

2. Группируем слагаемые:
   Используя переместительное и сочетательное свойства, поменяем числа местами и сгруппируем их в удобные пары:
   $(3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8)$

3. Вычисляем сумму в первой скобке:
   $3,17 + 0,83$

   • Складываем дробные части: $0,17 + 0,83 = 1,00$.
   • Складываем целые части: $3 + 0 = 3$.
   • Складываем результаты: $3 + 1 = 4$.
   • Итак, $3,17 + 0,83 = 4$.

4. Вычисляем сумму во второй скобке:
   $10,2 + 9,8$

   • Складываем дробные части: $0,2 + 0,8 = 1,0$.
   • Складываем целые части: $10 + 9 = 19$.
   • Складываем результаты: $19 + 1 = 20$.
   • Итак, $10,2 + 9,8 = 20$.

5. Находим финальную сумму:
   Теперь сложим результаты, полученные в скобках:
   $4 + 20 = 24$.

Проверка

Давайте сложим числа по порядку, чтобы убедиться в правильности ответа:
$3,17 + 10,2 = 13,37$
$13,37 + 0,83 = 14,20$
$14,20 + 9,8 = 24,00$
Результаты совпадают, но рациональный способ был намного быстрее и проще для устного счета.

Окончательный ответ

$(3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8) = 4 + 20 = 24$

Ответ: 24

Конечно, с удовольствием продолжим! Переходим к заданию №96.

Задание 96

В этом задании нам нужно найти значение выражения. Здесь ключевым будет использование распределительного свойства умножения.

Теоретическая основа

Распределительное свойство умножения (или, как его еще называют, закон дистрибутивности) гласит:

1. Относительно сложения: Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
   • Формула: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
2. Относительно вычитания: Чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
   • Формула: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

В наших примерах это свойство применяется в "обратную сторону": мы видим сумму или разность произведений с общим множителем и "выносим" этот общий множитель за скобки, чтобы упростить вычисления.

Задание 96 (а)

Условие: $3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2$

Пошаговое решение

1. Анализируем выражение:
   Мы видим сумму двух произведений: $(3,5 \cdot 6,8)$ и $(3,5 \cdot 3,2)$.
   Замечаем, что у них есть общий множитель — это число 3,5.

2. Применяем распределительное свойство:
   Выносим общий множитель 3,5 за скобки. В скобках останется сумма вторых множителей.
   $3,5 \cdot 6,8 + 3,5 \cdot 3,2 = 3,5 \cdot (6,8 + 3,2)$

3. Вычисляем выражение в скобках:
   Сложение в скобках дает "круглое" число, что очень удобно.
   $6,8 + 3,2 = 10$

4. Выполняем финальное умножение:
   Теперь умножаем общий множитель на результат, полученный в скобках.
   $3,5 \cdot 10 = 35$

Окончательный ответ

$3,5 \cdot (6,8 + 3,2) = 3,5 \cdot 10 = 35$

Ответ: 35

Задание 96 (б)

Условие: $12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3$

Пошаговое решение

1. Анализируем выражение:
   Это разность двух произведений: $(12,4 \cdot 14,3)$ и $(12,4 \cdot 4,3)$.
   Здесь тоже есть общий множитель — число 12,4.

2. Применяем распределительное свойство:
   Выносим 12,4 за скобки. В скобках останется разность вторых множителей.
   $12,4 \cdot 14,3 - 12,4 \cdot 4,3 = 12,4 \cdot (14,3 - 4,3)$

3. Вычисляем выражение в скобках:
   Вычитание в скобках также дает удобное "круглое" число.
   $14,3 - 4,3 = 10$

4. Выполняем финальное умножение:
   Умножаем общий множитель на результат из скобок.
   $12,4 \cdot 10 = 124$

Окончательный ответ

$12,4 \cdot (14,3 - 4,3) = 12,4 \cdot 10 = 124$

Ответ: 124

Отлично, продолжаем! Задание №97 очень похоже на предыдущее, так что мы сможем закрепить использование распределительного свойства.

Задание 97

Условие: Вычислите.

Это задание снова проверяет ваше умение применять распределительное свойство умножения, чтобы упростить вычисления. Давайте вспомним его основную идею: если в сумме или разности произведений есть общий множитель, его можно вынести за скобку.

• Формула: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
• Формула: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$

Задание 97 (а)

Условие: $15,7 \cdot 3,09 + 15,7 \cdot 2,91$

Пошаговое решение

1. Находим общий множитель:
   В выражении есть два произведения: $(15,7 \cdot 3,09)$ и $(15,7 \cdot 2,91)$.
   Очевидно, что общий множитель здесь — это 15,7.

2. Выносим общий множитель за скобки:
   Применяем распределительное свойство. Число 15,7 ставим перед скобками, а в скобках записываем сумму оставшихся множителей.
   $15,7 \cdot (3,09 + 2,91)$

3. Вычисляем сумму в скобках:
   Это действие специально подобрано так, чтобы получился удобный результат.
   $3,09 + 2,91$

   • Складываем дробные части: $0,09 + 0,91 = 1,00$.
   • Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.
   • Складываем результаты: $5 + 1 = 6$.
   • Итак, $3,09 + 2,91 = 6$.

4. Выполняем финальное умножение:
   Теперь осталось умножить 15,7 на 6.
   $15,7 \cdot 6$
   Можно посчитать в столбик:
   15,7 x 6 ------ 94,2
   $15 \cdot 6 = 90$
   $0,7 \cdot 6 = 4,2$
   $90 + 4,2 = 94,2$

Окончательный ответ

$15,7 \cdot (3,09 + 2,91) = 15,7 \cdot 6 = 94,2$

Ответ: 94,2

Задание 97 (б)

Условие: $4,03 \cdot 27,9 - 17,9 \cdot 4,03$

Пошаговое решение

1. Находим общий множитель:
   В выражении есть разность двух произведений: $(4,03 \cdot 27,9)$ и $(17,9 \cdot 4,03)$.
   Общий множитель здесь — 4,03. Обратите внимание, что он может стоять как на первом, так и на втором месте в произведении (от перемены мест множителей произведение не меняется).

2. Выносим общий множитель за скобки:
   Применяем распределительное свойство для вычитания.
   $4,03 \cdot (27,9 - 17,9)$

3. Вычисляем разность в скобках:
   Это действие также приводит к "круглому" числу.
   $27,9 - 17,9 = 10$

4. Выполняем финальное умножение:
   Умножение на 10 — одно из самых простых действий с десятичными дробями. Нужно просто перенести запятую на один знак вправо.
   $4,03 \cdot 10 = 40,3$

Окончательный ответ

$4,03 \cdot (27,9 - 17,9) = 4,03 \cdot 10 = 40,3$

Ответ: 40,3