Задачи на движение: скорость, время, расстояние

Задание 1

Условие: Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Определим переменные:

   • Пусть \(v_2\) — скорость второго автомобиля (км/ч).
   • Тогда скорость первого автомобиля \(v_1 = v_2 + 20\) (км/ч).
   • Расстояние \(S = 240\) км.

2. Выразим время в пути для каждого автомобиля:

   • Время в пути второго автомобиля \(t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2}\) (часов).
   • Время в пути первого автомобиля \(t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_2 + 20}\) (часов).

3. Составим уравнение на основе условия задачи:
   Из условия известно, что первый автомобиль прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Это означает, что разница во времени их движения равна 1 часу:
   \(t_2 - t_1 = 1\)
   Подставляем выражения для времени:
   \(\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_2 + 20} = 1\)

4. Решим полученное уравнение:

   • Приведем дроби к общему знаменателю \(v_2(v_2 + 20)\):
     \(\frac{240(v_2 + 20) - 240v_2}{v_2(v_2 + 20)} = 1\)
   • Раскроем скобки в числителе:
     \(\frac{240v_2 + 4800 - 240v_2}{v_2(v_2 + 20)} = 1\)
   • Упростим числитель:
     \(\frac{4800}{v_2(v_2 + 20)} = 1\)
   • Перенесем знаменатель в правую часть (при условии, что \(v_2 \neq 0\) и \(v_2 \neq -20\), что соответствует реальным условиям задачи, так как скорость не может быть отрицательной):
     \(4800 = v_2(v_2 + 20)\)
   • Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
     \(4800 = v_2^2 + 20v_2\)
     \(v_2^2 + 20v_2 - 4800 = 0\)

5. Решим квадратное уравнение \(v_2^2 + 20v_2 - 4800 = 0\):
   Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
   \(a = 1\), \(b = 20\), \(c = -4800\)
   \(D = 20^2 - 4(1)(-4800) = 400 + 19200 = 19600\)
   \(\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140\)

   Найдем корни уравнения:
   \(v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
   \(v_{2,1} = \frac{-20 + 140}{2(1)} = \frac{120}{2} = 60\)
   \(v_{2,2} = \frac{-20 - 140}{2(1)} = \frac{-160}{2} = -80\)

6. Выберите подходящий корень:
   Так как скорость не может быть отрицательной, \(v_2 = -80\) км/ч не подходит.
   Следовательно, скорость второго автомобиля \(v_2 = 60\) км/ч.

7. Найдите скорость первого автомобиля:
   По условию, скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго:
   \(v_1 = v_2 + 20 = 60 + 20 = 80\) км/ч.

Ответ: 80