Решение задач на пропорции и равенства дробей

Задание 1

Условие: Если \(\frac{a}{b} = \frac{d}{c}\) и \(b, c \neq 0\), то какое из следующих равенств верно?

Решение:
Из данного равенства \(\frac{a}{b} = \frac{d}{c}\), мы можем применить свойство перекрестного умножения:
\(a \cdot c = b \cdot d\)

Теперь сравним это с предложенными вариантами:
A. \(a.b.c = a.d\) (Неверно)
B. \(a.b = c.d\) (Неверно)
C. \(a.c = b.d\) (Верно)
D. \(a.d = b.c\) (Неверно)

Ответ: C

Задание 2

Условие: Из равенства \(3x = -5y\) (\(x, y \neq 0\)) следует пропорция. Выбери правильную пропорцию.

Решение:
Дано равенство \(3x = -5y\).
Чтобы получить пропорцию, нам нужно разделить обе части уравнения на произведение \(xy\) (так как \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\)).

Разделим обе части на \(xy\):
\(\frac{3x}{xy} = \frac{-5y}{xy}\)

Сократим общие множители:
\(\frac{3}{y} = \frac{-5}{x}\)

Теперь проверим предложенные варианты:
A. \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3}\) (Неверно)
B. \(\frac{x}{5} = \frac{y}{-3}\) (Неверно)
C. \(\frac{x}{3} = \frac{5}{-3}\) (Неверно)
D. \(\frac{3}{x} = \frac{-5}{y}\) (Неверно)

Примечание: В вариантах ответа есть опечатка. Правильный ответ, исходя из наших вычислений, должен быть \(\frac{3}{y} = \frac{-5}{x}\). Однако, если предположить, что изначальное равенство было \(3x = 5y\), то получили бы \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3}\), что соответствует варианту A. Если же равенство было \(3x = -5y\), то можно получить и другие варианты, например, разделив на \(3y\): \(\frac{x}{y} = \frac{-5}{3}\).

Давайте пересмотрим варианты, исходя из того, что одно из предложенных решений верно.
Если \(\frac{3}{y} = \frac{-5}{x}\), то \(3x = -5y\). Этот вариант отсутствует.

Рассмотрим, как могли получить варианты A, B, C, D.
Если A: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} \Rightarrow 3x = 5y\).
Если B: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{-3} \Rightarrow -3x = 5y \Rightarrow 3x = -5y\). Этот вариант соответствует условию.
Если C: \(\frac{x}{3} = \frac{5}{-3} \Rightarrow -3x = 15 \Rightarrow x = -5\). Это не пропорция.
D: \(\frac{3}{x} = \frac{-5}{y} \Rightarrow 3y = -5x \Rightarrow 5x = -3y\).

Ответ: B (при условии, что в варианте B имелась в виду пропорция, полученная из \(3x = -5y\)).

Задание 3

Условие: Найди число \(x\), удовлетворяющее равенству \(\frac{3}{6} = \frac{x}{30}\).

Решение:
У нас есть пропорция \(\frac{3}{6} = \frac{x}{30}\).
Можно упростить первую дробь: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Теперь пропорция выглядит так: \(\frac{1}{2} = \frac{x}{30}\).

Применим свойство перекрестного умножения:
\(1 \cdot 30 = 2 \cdot x\)
\(30 = 2x\)

Чтобы найти \(x\), разделим обе части на 2:
\(x = \frac{30}{2}\)
\(x = 15\)

Проверим предложенные варианты:
A. 90
B. 30
C. 10
D. 15

Ответ: D