Геометрическая прогрессия: нахождение знаменателя и суммы

Задание: Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых пяти членов, если \(b_7=50\)

Решим задачу пошагово:

1️⃣ В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q.

2️⃣ Для любого члена геометрической прогрессии верна формула:
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)

3️⃣ По условию известно, что \(b_7 = 50\). Подставим в формулу:
\(50 = b_1 \cdot q^6\)

4️⃣ Так как нам нужно найти сумму первых 5 членов, нам понадобится \(b_1\).
Пусть \(b_1 = 50/q^6\)

5️⃣ Теперь можем записать первые 5 членов прогрессии:
* \(b_1 = \frac{50}{q^6}\)
* \(b_2 = \frac{50}{q^5}\)
* \(b_3 = \frac{50}{q^4}\)
* \(b_4 = \frac{50}{q^3}\)
* \(b_5 = \frac{50}{q^2}\)

6️⃣ Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:
\(S_n = b_1\frac{q^n-1}{q-1}\)

7️⃣ Подставляем наши значения для n=5:
\(S_5 = \frac{50}{q^6}\cdot\frac{q^5-1}{q-1} = 50\cdot\frac{q^5-1}{q^7-q^6}\)

❗ Для нахождения конкретного значения q и суммы нужны дополнительные условия, так как задача имеет множество решений в зависимости от значения q.

Задание: Найти номер числа 162 в геометрической прогрессии 6, 18, ..., 162, ...

Решим задачу пошагово:

1️⃣ Найдем знаменатель прогрессии (q):
* \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{6} = 3\)

2️⃣ В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q.
Значит:
* \(b_1 = 6\)
* \(b_2 = 18\)
* \(b_3 = 54\)
* \(b_4 = 162\)

3️⃣ Можно также использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
\(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)

Подставим известные значения:
\(162 = 6 \cdot 3^{n-1}\)

4️⃣ Решаем уравнение:
* \(162 = 6 \cdot 3^{n-1}\)
* \(27 = 3^{n-1}\)
* \(3^3 = 3^{n-1}\)
* \(n-1 = 3\)
* \(n = 4\)

Ответ: число 162 является 4-м членом данной геометрической прогрессии.