Задание: Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых пяти членов, если $b_7=50$

Решим задачу пошагово:

1️⃣ В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q.

2️⃣ Для любого члена геометрической прогрессии верна формула:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

3️⃣ По условию известно, что $b_7 = 50$. Подставим в формулу:
$50 = b_1 \cdot q^6$

4️⃣ Так как нам нужно найти сумму первых 5 членов, нам понадобится $b_1$.
Пусть $b_1 = 50/q^6$

5️⃣ Теперь можем записать первые 5 членов прогрессии:
* $b_1 = \frac{50}{q^6}$
* $b_2 = \frac{50}{q^5}$
* $b_3 = \frac{50}{q^4}$
* $b_4 = \frac{50}{q^3}$
* $b_5 = \frac{50}{q^2}$

6️⃣ Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:
$S_n = b_1\frac{q^n-1}{q-1}$

7️⃣ Подставляем наши значения для n=5:
$S_5 = \frac{50}{q^6}\cdot\frac{q^5-1}{q-1} = 50\cdot\frac{q^5-1}{q^7-q^6}$

❗ Для нахождения конкретного значения q и суммы нужны дополнительные условия, так как задача имеет множество решений в зависимости от значения q.

Задание: Найти номер числа 162 в геометрической прогрессии 6, 18, ..., 162, ...

Решим задачу пошагово:

1️⃣ Найдем знаменатель прогрессии (q):
* $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{6} = 3$

2️⃣ В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q.
Значит:
* $b_1 = 6$
* $b_2 = 18$
* $b_3 = 54$
* $b_4 = 162$

3️⃣ Можно также использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения:
$162 = 6 \cdot 3^{n-1}$

4️⃣ Решаем уравнение:
* $162 = 6 \cdot 3^{n-1}$
* $27 = 3^{n-1}$
* $3^3 = 3^{n-1}$
* $n-1 = 3$
* $n = 4$

Ответ: число 162 является 4-м членом данной геометрической прогрессии.