Решение тригонометрических уравнений и выражений

Привет! 👋 Конечно, я помогу тебе решить эту задачу.

Задание 1

Вычислите \(\cos^2 \alpha\), если \(\cos 2\alpha = 0.5\).

Решение:

1. Вспомним формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\).

2. Подставим известное значение \(\cos 2\alpha = 0.5\) в формулу: \(0.5 = 2\cos^2 \alpha - 1\).

3. Решим уравнение относительно \(\cos^2 \alpha\):

   • \(2\cos^2 \alpha = 1.5\)
   • \(\cos^2 \alpha = \frac{1.5}{2} = 0.75\)

Ответ: \(\cos^2 \alpha = 0.75\)

Привет! 👋 Давай решим это тригонометрическое выражение вместе.

Задание 2

Вычислите: \(4\sin 330^\circ - 2\cos 240^\circ + \tan 225^\circ\).

Решение:

1. Определим значения тригонометрических функций:

   • \(\sin 330^\circ = -\sin (360^\circ - 330^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}\)
   • \(\cos 240^\circ = -\cos (240^\circ - 180^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\)
   • \(\tan 225^\circ = \tan (225^\circ - 180^\circ) = \tan 45^\circ = 1\)

2. Подставим значения в исходное выражение:
   \(4\sin 330^\circ - 2\cos 240^\circ + \tan 225^\circ = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1\)

3. Вычислим:
   \(-2 + 1 + 1 = 0\)

Ответ: 0

Привет! 👋 Сейчас мы упростим выражение и найдем его значение.

Задание 3

Найдите значение выражения \(\frac{y^2 - 9x^2}{xy - 3x^2}\) при \(x = 4.6, y = 1.5\).

Решение:

1. Разложим числитель как разность квадратов: \(y^2 - 9x^2 = (y - 3x)(y + 3x)\).

2. Вынесем общий множитель \(x\) в знаменателе: \(xy - 3x^2 = x(y - 3x)\).

3. Запишем выражение с учетом разложения и вынесения общего множителя:
   \(\frac{(y - 3x)(y + 3x)}{x(y - 3x)}\)

4. Сократим \((y - 3x)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(y \neq 3x\)):
   \(\frac{y + 3x}{x}\)

5. Подставим значения \(x = 4.6\) и \(y = 1.5\) в упрощенное выражение:
   \(\frac{1.5 + 3 \cdot 4.6}{4.6} = \frac{1.5 + 13.8}{4.6} = \frac{15.3}{4.6}\)

6. Вычислим значение:
   \(\frac{15.3}{4.6} = 3.32608695652 \approx 3.33\)

Ответ: 3.33 (округлено до сотых)

Привет! 👋 Давай упростим это выражение с корнями.

Задание 4

Найдите значение выражения \(\sqrt{72} - \sqrt{648}\).

Решение:

1. Разложим числа под корнями на простые множители, чтобы выделить полные квадраты:

   • \(72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2\)
   • \(648 = 324 \cdot 2 = 18^2 \cdot 2\)

2. Извлечем квадратные корни из полных квадратов:

   • \(\sqrt{72} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
   • \(\sqrt{648} = \sqrt{18^2 \cdot 2} = 18\sqrt{2}\)

3. Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:
   \(6\sqrt{2} - 18\sqrt{2}\)

4. Вынесем \(\sqrt{2}\) за скобки:
   \((6 - 18)\sqrt{2} = -12\sqrt{2}\)

Ответ: \(-12\sqrt{2}\) (что приблизительно равно -16.97)

Среди предложенных вариантов ответа нет точного значения. Однако, если требуется выбрать наиболее близкий вариант, то можно оценить значение выражения: \(-12\sqrt{2} \approx -12 \cdot 1.414 \approx -16.97\). Ни один из предложенных вариантов (3,1; 6; 36; 12) не является верным. Возможно, в задании или в вариантах ответа есть опечатка.

Привет! 👋 Сейчас мы упростим это тригонометрическое выражение.

Задание 5

Упростите выражение: \(\frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\).

Решение:

1. Преобразуем \(\cos 2x\) по формуле двойного угла: \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\).

2. Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: \(\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\).

3. Запишем первую дробь с учетом разложения: \(\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}\).

4. Сократим \((\cos x - \sin x)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(\cos x \neq \sin x\)):
   \(\cos x + \sin x\).

5. Преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла: \(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x\).

6. Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:
   \(\cos x + \sin x - \sin x\).

7. Упростим выражение:
   \(\cos x\).

Ответ: \(\cos x\)

Привет! 👋 Сейчас мы упростим это алгебраическое выражение.

Задание 11

Упростите выражение: \(\frac{2}{a-2} + \frac{3a}{a^2 + a - 6} + \frac{2a}{a+3}\).

Решение:

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: \(a^2 + a - 6 = (a - 2)(a + 3)\).

2. Приведем все дроби к общему знаменателю \((a - 2)(a + 3)\):

   • Первая дробь: \(\frac{2}{a-2} = \frac{2(a+3)}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a + 6}{(a-2)(a+3)}\)
   • Вторая дробь: \(\frac{3a}{(a-2)(a+3)}\) (уже с нужным знаменателем)
   • Третья дробь: \(\frac{2a}{a+3} = \frac{2a(a-2)}{(a+3)(a-2)} = \frac{2a^2 - 4a}{(a-2)(a+3)}\)

3. Сложим все дроби:
   \(\frac{2a + 6 + 3a + 2a^2 - 4a}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}\)

4. Попробуем разложить числитель \(2a^2 + a + 6\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 - 48 = -47\). Так как дискриминант отрицательный, числитель не раскладывается на множители.

5. Запишем упрощенное выражение:
   \(\frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}\)

6. Сравним полученное выражение с предложенными вариантами ответа. Ни один из предложенных вариантов не соответствует полученному выражению. Проверим еще раз вычисления.

   \(\frac{2(a+3) + 3a + 2a(a-2)}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a + 6 + 3a + 2a^2 - 4a}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}\)

   Похоже, что в задании или в вариантах ответа есть опечатка. Если предположить, что в числителе должно быть \(2a^2 - a - 6\), тогда можно было бы разложить на множители и сократить. Но с текущим числителем выражение не упрощается до одного из предложенных вариантов.

Ответ: Выражение упрощено до \(\frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}\), но ни один из предложенных вариантов не соответствует этому результату.

Привет! 👋 Давай решим эту задачу на проценты.

Задание 12

Стоимость одного кВт⋅ч электроэнергии в январе составляла 4 руб./кВт⋅ч, а в феврале выросла на 5%. Расход электроэнергии в январе составил 240 кВт⋅ч, а в феврале - 250 кВт⋅ч. Счёт на оплату электроснабжения за февраль вырос на ___ руб.

Решение:

1. Найдем стоимость одного кВт⋅ч в феврале:

   • Увеличение стоимости: \(4 \cdot 0.05 = 0.2\) руб.
   • Стоимость в феврале: \(4 + 0.2 = 4.2\) руб./кВт⋅ч

2. Рассчитаем стоимость электроэнергии в январе:

   • \(240 \cdot 4 = 960\) руб.

3. Рассчитаем стоимость электроэнергии в феврале:

   • \(250 \cdot 4.2 = 1050\) руб.

4. Найдем разницу в стоимости между февралем и январем:

   • \(1050 - 960 = 90\) руб.

Ответ: Счёт на оплату электроснабжения за февраль вырос на 90 руб.

Привет! 👋 Сейчас решим эту задачу про зарплату.

Задание 13

Заработная плата Иванова в январе составляла 20000 руб. и повысилась в феврале на 4%, а в марте - на 5%. Размер заработной платы Иванова в марте вырос на ___ руб.

Решение:

1. Рассчитаем зарплату в феврале:

   • Повышение в феврале: \(20000 \cdot 0.04 = 800\) руб.
   • Зарплата в феврале: \(20000 + 800 = 20800\) руб.

2. Рассчитаем зарплату в марте:

   • Повышение в марте: \(20800 \cdot 0.05 = 1040\) руб.
   • Зарплата в марте: \(20800 + 1040 = 21840\) руб.

3. Найдем, на сколько выросла зарплата в марте по сравнению с январем:

   • \(21840 - 20000 = 1840\) руб.

Ответ: Размер заработной платы Иванова в марте вырос на 1840 руб.

Привет! 👋 Разберемся с областью определения логарифмической функции.

Задание 14

Области определения функции \(y = \log_{0.2}(9 - 36x)\) принадлежат значения...

Решение:

1. Определим условие существования логарифма. Логарифм существует только тогда, когда аргумент логарифма строго больше нуля. В нашем случае аргумент логарифма - это выражение \(9 - 36x\).

2. Запишем неравенство:
   \(9 - 36x > 0\)

3. Решим неравенство:

   • \(-36x > -9\)
   • \(36x < 9\) (умножили обе части на -1, знак неравенства изменился)
   • \(x < \frac{9}{36}\)
   • \(x < \frac{1}{4}\)

4. Среди предложенных вариантов выберем те, которые меньше \(\frac{1}{4}\):

   • 0 (так как \(0 < \frac{1}{4}\))
   • -7 (так как \(-7 < \frac{1}{4}\))
   • 1 (не подходит, так как \(1 > \frac{1}{4}\))
   • 4 (не подходит, так как \(4 > \frac{1}{4}\))

Ответ: Области определения функции принадлежат значения 0 и -7.

Привет! 👋 Давай сопоставим функции с их областями определения.

Задание 15

Установите соответствие между функцией и областью ее определения.

1. \(y = \\frac{\\sqrt{x+2}}{x+6}\)
2. \(y = \\frac{x+2}{x+6}\)
3. \(y = \\frac{x}{\\sqrt{x^2+6}}\)

Решение:

• Функция 1: \(y = \\frac{\\sqrt{x+2}}{x+6}\)

  • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x + 2 \\ge 0\), следовательно, \(x \\ge -2\).
  • Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x + 6 \ e 0\), следовательно, \(x \ e -6\).
  • Область определения: \(x \\in [-2; +\\infty)\). Так как \(x \ e -6\), то это условие выполняется автоматически, так как -6 не входит в интервал \([-2; +\\infty)\).
  • Соответствует варианту 2: \(x \\in [2; +\\infty)\) - неверно, должно быть \([-2; +\\infty)\).

• Функция 2: \(y = \\frac{x+2}{x+6}\)

  • Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x + 6 \ e 0\), следовательно, \(x \ e -6\).
  • Область определения: \(x \\in (-\\infty; -6) \\cup (-6; +\\infty)\).
  • Соответствует варианту 1: \(x \\in (-\\infty; -6) \\cup (-6; +\\infty)\).

• Функция 3: \(y = \\frac{x}{\\sqrt{x^2+6}}\)

  • Подкоренное выражение всегда положительно, так как \(x^2 \\ge 0\), следовательно, \(x^2 + 6 > 0\) для любого \(x\).
  • Знаменатель не должен быть равен нулю, но так как подкоренное выражение всегда положительно, то знаменатель всегда больше нуля.
  • Область определения: \(x \\in (-\\infty; +\\infty)\).
  • Соответствует варианту 3: \(x \\in (-\\infty; +\\infty)\).

Таким образом, соответствия:

• Функция 1: не соответствует ни одному из предложенных вариантов.
• Функция 2: Вариант 1
• Функция 3: Вариант 3

Привет! 👋 Определим, какой функции соответствует график.

Задание 16

На рисунке изображен график одной из перечисленных функций. Это функция...

Решение:

1. Анализ графика:

   • График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент при \(x^2\) должен быть положительным.
   • Вершина параболы находится в точке (1; -1).

2. Проверка предложенных функций:

   • \(y = x^2 - 1\): Вершина в точке (0; -1). Не подходит.
   • \(y = x^2 + 2x\): Преобразуем к виду \(y = (x+1)^2 - 1\). Вершина в точке (-1; -1). Не подходит.
   • \(y = x^2 - 2x\): Преобразуем к виду \(y = (x-1)^2 - 1\). Вершина в точке (1; -1). Подходит.
   • \(y = x^2 + 1\): Вершина в точке (0; 1). Не подходит.

3. Вывод:

   • Графику соответствует функция \(y = x^2 - 2x\).

Ответ: \(y = x^2 - 2x\)