Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Сейчас помогу вам с решением этих заданий.

Задание 1.1

Выражение: $\sqrt{\frac{16a^{14}}{a^8}}$ при $a=3$.

1. Упростим выражение под корнем:

   $\frac{16a^{14}}{a^8} = 16a^{14-8} = 16a^6$
   2. Извлечем квадратный корень:

   $\sqrt{16a^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^6} = 4 \cdot a^{6/2} = 4a^3$
   3. Подставим значение $a=3$:

   $4a^3 = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$

Ответ: 108

Задание 1.2

Выражение: $\sqrt{\frac{36a^{21}}{a^{15}}}$ при $a=2$.

1. Упростим выражение под корнем:

   $\frac{36a^{21}}{a^{15}} = 36a^{21-15} = 36a^6$
   2. Извлечем квадратный корень:

   $\sqrt{36a^6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^6} = 6 \cdot a^{6/2} = 6a^3$
   3. Подставим значение $a=2$:

   $6a^3 = 6 \cdot 2^3 = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 48

Задание 1.3

Выражение: $\sqrt{\frac{25a^{19}}{a^{11}}}$ при $a=2$.

1. Упростим выражение под корнем:

   $\frac{25a^{19}}{a^{11}} = 25a^{19-11} = 25a^8$
   2. Извлечем квадратный корень:

   $\sqrt{25a^8} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^8} = 5 \cdot a^{8/2} = 5a^4$
   3. Подставим значение $a=2$:

   $5a^4 = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$

Ответ: 80

Homiwork: Конечно, сейчас я подробно объясню решение задачи 1.1.

Задание 1.1 (Подробное решение)

Выражение: $\sqrt{\frac{16a^{14}}{a^8}}$ при $a=3$.

1. Упростим выражение под корнем:

   • Правило деления степеней: При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
   • Применим это правило к выражению: $\frac{16a^{14}}{a^8} = 16 \cdot \frac{a^{14}}{a^8} = 16a^{14-8} = 16a^6$.

   • Таким образом, выражение под корнем упростилось до $16a^6$.
     2. Извлечем квадратный корень:

   • Свойство квадратного корня: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

   • Применим это свойство: $\sqrt{16a^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^6}$.
   • $\sqrt{16} = 4$.
   • Правило извлечения корня из степени: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$.
   • Применим это правило: $\sqrt{a^6} = a^{6/2} = a^3$.

   • Итак, $\sqrt{16a^6} = 4a^3$.
     3. Подставим значение $a=3$:

   • Подставляем $a=3$ в упрощенное выражение: $4a^3 = 4 \cdot 3^3$.

   • Вычисляем $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
   • Умножаем: $4 \cdot 27 = 108$.

Ответ: 108

Ассистент: Homiwork: Конечно, сейчас я объясню теоретические основы и правила, которые использовались в этих задачах.

Теоретические основы и правила

В этих задачах используются следующие основные математические концепции и правила:

1. Свойства степеней:

   • Деление степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

   • Степень степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
     2. Квадратные корни:

   • Определение квадратного корня: Квадратный корень из числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) — это такое число $b$, что $b^2 = a$.

   • Свойства квадратных корней:

     • $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, если $a \geq 0$ и $b \geq 0$. Квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней.
     • $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, если $a \geq 0$ и $b > 0$. Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней.
     • $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, если $a \geq 0$. Квадратный корень из степени с четным показателем равен степени с половинным показателем.
       3. Подстановка значений переменных:

   • После упрощения выражения подставляем заданное значение переменной и вычисляем результат.

Примеры применения

Рассмотрим примеры применения этих правил:

• Пример 1: Упростить выражение $\sqrt{\frac{9x^4}{y^2}}$ при $x=2$, $y=3$.

  1. Упрощаем выражение под корнем: $\sqrt{\frac{9x^4}{y^2}} = \frac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{3x^2}{y}$.

  2. Подставляем значения $x=2$ и $y=3$: $\frac{3 \cdot 2^2}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$.
     * Пример 2: Упростить выражение $\sqrt{16a^8}$ при $a=5$.

  3. Упрощаем выражение под корнем: $\sqrt{16a^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^8} = 4a^4$.

  4. Подставляем значение $a=5$: $4 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500$.