Упрощение выражений с квадратными корнями и степенями

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Сейчас помогу вам с решением этих заданий.

Задание 1.1

Выражение: \(\sqrt{\frac{16a^{14}}{a^8}}\) при \(a=3\).

1. Упростим выражение под корнем:

   \(\frac{16a^{14}}{a^8} = 16a^{14-8} = 16a^6\)
   2. Извлечем квадратный корень:

   \(\sqrt{16a^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^6} = 4 \cdot a^{6/2} = 4a^3\)
   3. Подставим значение \(a=3\):

   \(4a^3 = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108\)

Ответ: 108

Задание 1.2

Выражение: \(\sqrt{\frac{36a^{21}}{a^{15}}}\) при \(a=2\).

1. Упростим выражение под корнем:

   \(\frac{36a^{21}}{a^{15}} = 36a^{21-15} = 36a^6\)
   2. Извлечем квадратный корень:

   \(\sqrt{36a^6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^6} = 6 \cdot a^{6/2} = 6a^3\)
   3. Подставим значение \(a=2\):

   \(6a^3 = 6 \cdot 2^3 = 6 \cdot 8 = 48\)

Ответ: 48

Задание 1.3

Выражение: \(\sqrt{\frac{25a^{19}}{a^{11}}}\) при \(a=2\).

1. Упростим выражение под корнем:

   \(\frac{25a^{19}}{a^{11}} = 25a^{19-11} = 25a^8\)
   2. Извлечем квадратный корень:

   \(\sqrt{25a^8} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^8} = 5 \cdot a^{8/2} = 5a^4\)
   3. Подставим значение \(a=2\):

   \(5a^4 = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80\)

Ответ: 80

Homiwork: Конечно, сейчас я подробно объясню решение задачи 1.1.

Задание 1.1 (Подробное решение)

Выражение: \(\sqrt{\frac{16a^{14}}{a^8}}\) при \(a=3\).

1. Упростим выражение под корнем:

   • Правило деления степеней: При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
   • Применим это правило к выражению: \(\frac{16a^{14}}{a^8} = 16 \cdot \frac{a^{14}}{a^8} = 16a^{14-8} = 16a^6\).

   • Таким образом, выражение под корнем упростилось до \(16a^6\).
     2. Извлечем квадратный корень:

   • Свойство квадратного корня: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).

   • Применим это свойство: \(\sqrt{16a^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^6}\).
   • \(\sqrt{16} = 4\).
   • Правило извлечения корня из степени: \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\).
   • Применим это правило: \(\sqrt{a^6} = a^{6/2} = a^3\).

   • Итак, \(\sqrt{16a^6} = 4a^3\).
     3. Подставим значение \(a=3\):

   • Подставляем \(a=3\) в упрощенное выражение: \(4a^3 = 4 \cdot 3^3\).

   • Вычисляем \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\).
   • Умножаем: \(4 \cdot 27 = 108\).

Ответ: 108

Ассистент: Homiwork: Конечно, сейчас я объясню теоретические основы и правила, которые использовались в этих задачах.

Теоретические основы и правила

В этих задачах используются следующие основные математические концепции и правила:

1. Свойства степеней:

   • Деление степеней с одинаковым основанием: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

   • Степень степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). При возведении степени в степень показатели перемножаются.
     2. Квадратные корни:

   • Определение квадратного корня: Квадратный корень из числа \(a\) (обозначается \(\sqrt{a}\)) — это такое число \(b\), что \(b^2 = a\).

   • Свойства квадратных корней:

     • \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), если \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\). Квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней.
     • \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), если \(a \geq 0\) и \(b > 0\). Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней.
     • \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\), если \(a \geq 0\). Квадратный корень из степени с четным показателем равен степени с половинным показателем.
       3. Подстановка значений переменных:

   • После упрощения выражения подставляем заданное значение переменной и вычисляем результат.

Примеры применения

Рассмотрим примеры применения этих правил:

• Пример 1: Упростить выражение \(\sqrt{\frac{9x^4}{y^2}}\) при \(x=2\), \(y=3\).

  1. Упрощаем выражение под корнем: \(\sqrt{\frac{9x^4}{y^2}} = \frac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{3x^2}{y}\).

  2. Подставляем значения \(x=2\) и \(y=3\): \(\frac{3 \cdot 2^2}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4\).
     * Пример 2: Упростить выражение \(\sqrt{16a^8}\) при \(a=5\).

  3. Упрощаем выражение под корнем: \(\sqrt{16a^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^8} = 4a^4\).

  4. Подставляем значение \(a=5\): \(4 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500\).