Задание: Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^4-2x^2+4$ на отрезке $(0;2)$

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции

$f(x)=x^4-2x^2+4$
$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$

Шаг 2: Найдем критические точки (приравняем производную к нулю)

$f'(x)=0$
$4x(x^2-1)=0$

Отсюда получаем:
- $x=0$
- $x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$

Таким образом, критические точки: $x=0$, $x=1$ и $x=-1$.
Но поскольку мы рассматриваем отрезок $(0;2)$, то из этих точек нам подходят только $x=0$ и $x=1$. Однако, $x=0$ является концом отрезка $(0;2)$, поэтому внутри отрезка у нас только одна критическая точка: $x=1$.

Шаг 3: Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка

На концах отрезка:
- При $x=0$: $f(0)=0^4-2\cdot0^2+4=0-0+4=4$
- При $x=2$: $f(2)=2^4-2\cdot2^2+4=16-8+4=12$

В критической точке внутри отрезка:
- При $x=1$: $f(1)=1^4-2\cdot1^2+4=1-2+4=3$

Шаг 4: Определим наибольшее и наименьшее значения

Мы получили следующие значения функции:
- $f(0)=4$
- $f(1)=3$
- $f(2)=12$

Сравнивая эти значения:
- Наименьшее значение функции на отрезке $(0;2)$ равно $3$ (достигается при $x=1$)
- Наибольшее значение функции на отрезке $(0;2)$ равно $12$ (достигается при $x=2$)

Ответ:

• Наименьшее значение функции: $3$ (при $x=1$)
• Наибольшее значение функции: $12$ (при $x=2$)