Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Задание: Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x)=x^4-2x^2+4\) на отрезке \((0;2)\)

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:
1. Найти критические точки функции внутри отрезка (точки, где производная равна нулю)
2. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка
3. Выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений

Шаг 1: Найдем производную функции

\(f(x)=x^4-2x^2+4\)
\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)\)

Шаг 2: Найдем критические точки (приравняем производную к нулю)

\(f'(x)=0\)
\(4x(x^2-1)=0\)

Отсюда получаем:
- \(x=0\)
- \(x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1\)

Таким образом, критические точки: \(x=0\), \(x=1\) и \(x=-1\).
Но поскольку мы рассматриваем отрезок \((0;2)\), то из этих точек нам подходят только \(x=0\) и \(x=1\). Однако, \(x=0\) является концом отрезка \((0;2)\), поэтому внутри отрезка у нас только одна критическая точка: \(x=1\).

Шаг 3: Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка

На концах отрезка:
- При \(x=0\): \(f(0)=0^4-2\cdot0^2+4=0-0+4=4\)
- При \(x=2\): \(f(2)=2^4-2\cdot2^2+4=16-8+4=12\)

В критической точке внутри отрезка:
- При \(x=1\): \(f(1)=1^4-2\cdot1^2+4=1-2+4=3\)

Шаг 4: Определим наибольшее и наименьшее значения

Мы получили следующие значения функции:
- \(f(0)=4\)
- \(f(1)=3\)
- \(f(2)=12\)

Сравнивая эти значения:
- Наименьшее значение функции на отрезке \((0;2)\) равно \(3\) (достигается при \(x=1\))
- Наибольшее значение функции на отрезке \((0;2)\) равно \(12\) (достигается при \(x=2\))

Ответ:

• Наименьшее значение функции: \(3\) (при \(x=1\))
• Наибольшее значение функции: \(12\) (при \(x=2\))