Вычисление выражений со степенями: упрощение и решение

Язык задания: Russian.

Задание 1

Вычислить: \(\frac{128 \cdot 3^9}{243 \cdot 2^5}\)

Решение:

1. Представим числа 128 и 243 в виде степеней простых чисел:

   • \(128 = 2^7\)
   • \(243 = 3^5\)

2. Подставим эти значения в исходное выражение:
   \(\frac{2^7 \cdot 3^9}{3^5 \cdot 2^5}\)

3. Используем свойства степеней для упрощения выражения:

   • \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

4. Применим это свойство к степеням 2 и 3:
   \(\frac{2^7}{2^5} = 2^{7-5} = 2^2\)
   \(\frac{3^9}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4\)

5. Таким образом, выражение упрощается до:
   \(2^2 \cdot 3^4\)

6. Вычислим значения степеней:

   • \(2^2 = 4\)
   • \(3^4 = 81\)

7. Перемножим полученные значения:
   \(4 \cdot 81 = 324\)

Ответ: 324