Здравствуйте! Конечно, давайте разберем эти задания по порядку с подробными объяснениями.

Задание 1. Выполните действия

Здесь нам нужно решить два примера.

Пример а) $(2,125 - 0,32 - 1,93) : 2,5 - 0,5$

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем деление, и в конце вычитание.

1. Вычитание в скобках:

   • $2,125 - 0,32 = 1,805$
   • $1,805 - 1,93 = -0,125$

2. Деление:

   • Теперь результат из скобок делим на 2,5:
     $-0,125 : 2,5$
   • Чтобы было удобнее делить, можно избавиться от десятичных дробей, умножив делимое и делитель на 1000:
     $-125 : 2500$
   • Сократим дробь $\frac{-125}{2500}$ на 125:
     $\frac{-125}{2500} = \frac{-1}{20} = -0,05$

3. Вычитание:

   • $-0,05 - 0,5 = -0,55$

Ответ: $-0,55$

Пример б) $\frac{0,15 \cdot 0,15 \cdot 6,4}{2-0,175}$

Сначала выполним действия в числителе и знаменателе, а затем разделим их.

1. Числитель:

   • $0,15 \cdot 0,15 = 0,0225$
   • $0,0225 \cdot 6,4 = 0,144$

2. Знаменатель:

   • $2 - 0,175 = 1,825$

3. Деление:

   • $\frac{0,144}{1,825}$
   • Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на 1000:
     $\frac{144}{1825}$
   • Это выражение не упрощается дальше. Возможно, в условии примера б) есть опечатка, и он должен быть связан с примером в). Давайте решим пример в), который, судя по всему, является продолжением или отдельным заданием.

Пример в) $(\frac{11}{15} - 1\frac{9}{10} + \frac{5}{8}) \cdot 0,9 + 0,1$

1. Действия в скобках:

   • Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели: 15, 10, 8.
   • $15 = 3 \cdot 5$
   • $10 = 2 \cdot 5$
   • $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
   • Наименьший общий знаменатель (НОК) будет $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 15 = 120$.
   • Приводим дроби:
     • $\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{88}{120}$
     • $1\frac{9}{10} = \frac{19}{10} = \frac{19 \cdot 12}{10 \cdot 12} = \frac{228}{120}$
     • $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{75}{120}$
   • Выполняем действия:
     $\frac{88}{120} - \frac{228}{120} + \frac{75}{120} = \frac{88 - 228 + 75}{120} = \frac{-140 + 75}{120} = \frac{-65}{120}$
   • Сократим дробь на 5:
     $\frac{-65}{120} = \frac{-13}{24}$

2. Умножение:

   • Результат из скобок умножаем на 0,9. Представим 0,9 как обыкновенную дробь $\frac{9}{10}$.
     $\frac{-13}{24} \cdot \frac{9}{10} = \frac{-13 \cdot 9}{24 \cdot 10}$
   • Сократим 9 и 24 на 3:
     $\frac{-13 \cdot 3}{8 \cdot 10} = \frac{-39}{80}$

3. Сложение:

   • К результату прибавляем 0,1. Представим 0,1 как $\frac{1}{10}$.
     $\frac{-39}{80} + \frac{1}{10}$
   • Приводим к общему знаменателю 80:
     $\frac{-39}{80} + \frac{1 \cdot 8}{10 \cdot 8} = \frac{-39}{80} + \frac{8}{80} = \frac{-39 + 8}{80} = \frac{-31}{80}$

Ответ: $-\frac{31}{80}$ (или в виде десятичной дроби -0,3875)

Задание 2. Из данных чисел выпишите

Дан ряд чисел: $-8; 2,1; 7; 0,2020020002...; -\frac{1}{3}; 3,(6); 0; 201; -1,2\frac{3}{19}$

Давайте разберем каждое понятие и выпишем соответствующие числа.

• Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов: 1, 2, 3, ...
• Целые числа — это натуральные числа, им противоположные (-1, -2, -3, ...) и ноль.
• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. Все целые числа, конечные десятичные дроби и периодические дроби являются рациональными.
• Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Они представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

а) натуральные числа:
Это числа для счета. Из списка подходят:
7; 201

б) целые отрицательные числа:
Это целые числа со знаком "минус".
-8

в) рациональные положительные числа:
Это все положительные числа, которые можно представить в виде дроби.
* $2,1 = \frac{21}{10}$
* $7 = \frac{7}{1}$
* $3,(6)$ — периодическая дробь, является рациональной ($3,(6) = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$)
* $201 = \frac{201}{1}$

Ответ: 2,1; 7; 3,(6); 201

г) иррациональные числа:
Это бесконечные непериодические десятичные дроби.
* $0,2020020002...$ — здесь нет повторяющегося периода, количество нулей между двойками постоянно увеличивается. Это иррациональное число.

Ответ: 0,2020020002...

Задание 3. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число

Здесь нужно перевести обыкновенные дроби в десятичные путем деления числителя на знаменатель.

а) $\frac{1}{9}$
Делим 1 на 9 в столбик:
1 : 9 = 0,111...
$1,0 | \underline{9}$
$-\underline{0}\ \ \ \ 0,111...$
$10$
$-\underline{9}$
$\ 10$
$-\underline{9}$
$\ \ 1...$
Процесс повторяется бесконечно. Получаем периодическую дробь.

Ответ: $\frac{1}{9} = 0,111... = 0,(1)$

б) $\frac{1}{12}$
Делим 1 на 12 в столбик:
1 : 12 = 0,08333...
$1,00 | \underline{12}$
$-\underline{0}\ \ \ \ \ \ 0,0833...$
$10$
$-\underline{0}$
$100$
$-\underline{96}$
$\ \ \ 40$
$\ \ -\underline{36}$
$\ \ \ \ \ 40...$
Цифра 3 будет повторяться бесконечно.

Ответ: $\frac{1}{12} = 0,08333... = 0,08(3)$

в) $\frac{3}{11}$
Делим 3 на 11 в столбик:
3 : 11 = 0,2727...
$3,0 | \underline{11}$
$-\underline{0}\ \ \ \ 0,2727...$
$30$
$-\underline{22}$
$\ \ 80$
$\ -\underline{77}$
$\ \ \ \ 30...$
Группа цифр "27" будет повторяться.

Ответ: $\frac{3}{11} = 0,2727... = 0,(27)$

Задание 4. Сравните числа

Чтобы сравнить числа, их нужно привести к одному виду, например, к десятичным дробям.

а) $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{11}$

• Способ 1: Приведение к общему знаменателю.

  • Общий знаменатель для 9 и 11 — это $9 \cdot 11 = 99$.
  • $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99}$
  • $\frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{45}{99}$
  • Сравниваем числители: $44 < 45$.
  • Следовательно, $\frac{44}{99} < \frac{45}{99}$, а значит $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$.

• Способ 2: Перевод в десятичные дроби.

  • $\frac{4}{9} = 0,444... = 0,(4)$
  • $\frac{5}{11} = 0,4545... = 0,(45)$
  • Сравниваем по разрядам:
    • Целые части равны (0).
    • Десятые равны (4).
    • Сотые: $4 < 5$.
  • Значит, $0,(4) < 0,(45)$, следовательно $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$

б) $5,73$ и $5,(73)$

• $5,73$ — это конечная десятичная дробь. Ее можно записать как $5,73000...$
• $5,(73)$ — это бесконечная периодическая дробь, которая выглядит как $5,737373...$

Сравниваем числа по разрядам:
* Целая часть: $5 = 5$
* Десятые: $7 = 7$
* Сотые: $3 = 3$
* Тысячные: $0 < 7$

Поскольку в разряде тысячных у второго числа цифра больше, то и само число больше.

Ответ: $5,73 < 5,(73)$

в) $2,8$ и $2\frac{5}{6}$

• Способ 1: Перевод в десятичные дроби.

  • $2,8$ уже в нужном виде.
  • Переведем $2\frac{5}{6}$. Для этого нужно $5$ разделить на $6$:
    $5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3)$
  • Значит, $2\frac{5}{6} = 2,8333...$
  • Сравниваем $2,8$ и $2,8333...$:
    • Целые части равны (2).
    • Десятые равны (8).
    • Сотые: у первого числа $0$, у второго $3$. Так как $0 < 3$, то $2,8 < 2,8(3)$.

• Способ 2: Перевод в обыкновенные дроби.

  • $2,8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5}$
  • Теперь сравним $2\frac{4}{5}$ и $2\frac{5}{6}$. Целые части равны, поэтому сравниваем дробные части: $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$.
  • Общий знаменатель для 5 и 6 — это 30.
  • $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$
  • $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$
  • Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, а значит $2\frac{4}{5} < 2\frac{5}{6}$.

Ответ: $2,8 < 2\frac{5}{6}$