Решение задач с дробями и сравнение чисел

Здравствуйте! Конечно, давайте разберем эти задания по порядку с подробными объяснениями.

Задание 1. Выполните действия

Здесь нам нужно решить два примера.

Пример а) \((2,125 - 0,32 - 1,93) : 2,5 - 0,5\)

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем деление, и в конце вычитание.

1. Вычитание в скобках:

   • \(2,125 - 0,32 = 1,805\)
   • \(1,805 - 1,93 = -0,125\)

2. Деление:

   • Теперь результат из скобок делим на 2,5:
     \(-0,125 : 2,5\)
   • Чтобы было удобнее делить, можно избавиться от десятичных дробей, умножив делимое и делитель на 1000:
     \(-125 : 2500\)
   • Сократим дробь \(\frac{-125}{2500}\) на 125:
     \(\frac{-125}{2500} = \frac{-1}{20} = -0,05\)

3. Вычитание:

   • \(-0,05 - 0,5 = -0,55\)

Ответ: \(-0,55\)

Пример б) \(\frac{0,15 \cdot 0,15 \cdot 6,4}{2-0,175}\)

Сначала выполним действия в числителе и знаменателе, а затем разделим их.

1. Числитель:

   • \(0,15 \cdot 0,15 = 0,0225\)
   • \(0,0225 \cdot 6,4 = 0,144\)

2. Знаменатель:

   • \(2 - 0,175 = 1,825\)

3. Деление:

   • \(\frac{0,144}{1,825}\)
   • Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на 1000:
     \(\frac{144}{1825}\)
   • Это выражение не упрощается дальше. Возможно, в условии примера б) есть опечатка, и он должен быть связан с примером в). Давайте решим пример в), который, судя по всему, является продолжением или отдельным заданием.

Пример в) \((\frac{11}{15} - 1\frac{9}{10} + \frac{5}{8}) \cdot 0,9 + 0,1\)

1. Действия в скобках:

   • Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели: 15, 10, 8.
   • \(15 = 3 \cdot 5\)
   • \(10 = 2 \cdot 5\)
   • \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\)
   • Наименьший общий знаменатель (НОК) будет \(2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 15 = 120\).
   • Приводим дроби:
     • \(\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{88}{120}\)
     • \(1\frac{9}{10} = \frac{19}{10} = \frac{19 \cdot 12}{10 \cdot 12} = \frac{228}{120}\)
     • \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{75}{120}\)
   • Выполняем действия:
     \(\frac{88}{120} - \frac{228}{120} + \frac{75}{120} = \frac{88 - 228 + 75}{120} = \frac{-140 + 75}{120} = \frac{-65}{120}\)
   • Сократим дробь на 5:
     \(\frac{-65}{120} = \frac{-13}{24}\)

2. Умножение:

   • Результат из скобок умножаем на 0,9. Представим 0,9 как обыкновенную дробь \(\frac{9}{10}\).
     \(\frac{-13}{24} \cdot \frac{9}{10} = \frac{-13 \cdot 9}{24 \cdot 10}\)
   • Сократим 9 и 24 на 3:
     \(\frac{-13 \cdot 3}{8 \cdot 10} = \frac{-39}{80}\)

3. Сложение:

   • К результату прибавляем 0,1. Представим 0,1 как \(\frac{1}{10}\).
     \(\frac{-39}{80} + \frac{1}{10}\)
   • Приводим к общему знаменателю 80:
     \(\frac{-39}{80} + \frac{1 \cdot 8}{10 \cdot 8} = \frac{-39}{80} + \frac{8}{80} = \frac{-39 + 8}{80} = \frac{-31}{80}\)

Ответ: \(-\frac{31}{80}\) (или в виде десятичной дроби -0,3875)

Задание 2. Из данных чисел выпишите

Дан ряд чисел: \(-8; 2,1; 7; 0,2020020002...; -\frac{1}{3}; 3,(6); 0; 201; -1,2\frac{3}{19}\)

Давайте разберем каждое понятие и выпишем соответствующие числа.

• Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов: 1, 2, 3, ...
• Целые числа — это натуральные числа, им противоположные (-1, -2, -3, ...) и ноль.
• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое, а \(n\) — натуральное число. Все целые числа, конечные десятичные дроби и периодические дроби являются рациональными.
• Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\). Они представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

а) натуральные числа:
Это числа для счета. Из списка подходят:
7; 201

б) целые отрицательные числа:
Это целые числа со знаком "минус".
-8

в) рациональные положительные числа:
Это все положительные числа, которые можно представить в виде дроби.
* \(2,1 = \frac{21}{10}\)
* \(7 = \frac{7}{1}\)
* \(3,(6)\) — периодическая дробь, является рациональной (\(3,(6) = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}\))
* \(201 = \frac{201}{1}\)

Ответ: 2,1; 7; 3,(6); 201

г) иррациональные числа:
Это бесконечные непериодические десятичные дроби.
* \(0,2020020002...\) — здесь нет повторяющегося периода, количество нулей между двойками постоянно увеличивается. Это иррациональное число.

Ответ: 0,2020020002...

Задание 3. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число

Здесь нужно перевести обыкновенные дроби в десятичные путем деления числителя на знаменатель.

а) \(\frac{1}{9}\)
Делим 1 на 9 в столбик:
1 : 9 = 0,111...
\(1,0 | \underline{9}\)
\(-\underline{0}\ \ \ \ 0,111...\)
\(10\)
\(-\underline{9}\)
\(\ 10\)
\(-\underline{9}\)
\(\ \ 1...\)
Процесс повторяется бесконечно. Получаем периодическую дробь.

Ответ: \(\frac{1}{9} = 0,111... = 0,(1)\)

б) \(\frac{1}{12}\)
Делим 1 на 12 в столбик:
1 : 12 = 0,08333...
\(1,00 | \underline{12}\)
\(-\underline{0}\ \ \ \ \ \ 0,0833...\)
\(10\)
\(-\underline{0}\)
\(100\)
\(-\underline{96}\)
\(\ \ \ 40\)
\(\ \ -\underline{36}\)
\(\ \ \ \ \ 40...\)
Цифра 3 будет повторяться бесконечно.

Ответ: \(\frac{1}{12} = 0,08333... = 0,08(3)\)

в) \(\frac{3}{11}\)
Делим 3 на 11 в столбик:
3 : 11 = 0,2727...
\(3,0 | \underline{11}\)
\(-\underline{0}\ \ \ \ 0,2727...\)
\(30\)
\(-\underline{22}\)
\(\ \ 80\)
\(\ -\underline{77}\)
\(\ \ \ \ 30...\)
Группа цифр "27" будет повторяться.

Ответ: \(\frac{3}{11} = 0,2727... = 0,(27)\)

Задание 4. Сравните числа

Чтобы сравнить числа, их нужно привести к одному виду, например, к десятичным дробям.

а) \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{5}{11}\)

• Способ 1: Приведение к общему знаменателю.

  • Общий знаменатель для 9 и 11 — это \(9 \cdot 11 = 99\).
  • \(\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99}\)
  • \(\frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{45}{99}\)
  • Сравниваем числители: \(44 < 45\).
  • Следовательно, \(\frac{44}{99} < \frac{45}{99}\), а значит \(\frac{4}{9} < \frac{5}{11}\).

• Способ 2: Перевод в десятичные дроби.

  • \(\frac{4}{9} = 0,444... = 0,(4)\)
  • \(\frac{5}{11} = 0,4545... = 0,(45)\)
  • Сравниваем по разрядам:
    • Целые части равны (0).
    • Десятые равны (4).
    • Сотые: \(4 < 5\).
  • Значит, \(0,(4) < 0,(45)\), следовательно \(\frac{4}{9} < \frac{5}{11}\).

Ответ: \(\frac{4}{9} < \frac{5}{11}\)

б) \(5,73\) и \(5,(73)\)

• \(5,73\) — это конечная десятичная дробь. Ее можно записать как \(5,73000...\)
• \(5,(73)\) — это бесконечная периодическая дробь, которая выглядит как \(5,737373...\)

Сравниваем числа по разрядам:
* Целая часть: \(5 = 5\)
* Десятые: \(7 = 7\)
* Сотые: \(3 = 3\)
* Тысячные: \(0 < 7\)

Поскольку в разряде тысячных у второго числа цифра больше, то и само число больше.

Ответ: \(5,73 < 5,(73)\)

в) \(2,8\) и \(2\frac{5}{6}\)

• Способ 1: Перевод в десятичные дроби.

  • \(2,8\) уже в нужном виде.
  • Переведем \(2\frac{5}{6}\). Для этого нужно \(5\) разделить на \(6\):
    \(5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3)\)
  • Значит, \(2\frac{5}{6} = 2,8333...\)
  • Сравниваем \(2,8\) и \(2,8333...\):
    • Целые части равны (2).
    • Десятые равны (8).
    • Сотые: у первого числа \(0\), у второго \(3\). Так как \(0 < 3\), то \(2,8 < 2,8(3)\).

• Способ 2: Перевод в обыкновенные дроби.

  • \(2,8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5}\)
  • Теперь сравним \(2\frac{4}{5}\) и \(2\frac{5}{6}\). Целые части равны, поэтому сравниваем дробные части: \(\frac{4}{5}\) и \(\frac{5}{6}\).
  • Общий знаменатель для 5 и 6 — это 30.
  • \(\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}\)
  • \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}\)
  • Так как \(24 < 25\), то \(\frac{24}{30} < \frac{25}{30}\), а значит \(2\frac{4}{5} < 2\frac{5}{6}\).

Ответ: \(2,8 < 2\frac{5}{6}\)