Решение математических задач: вычисления с дробями и десятичными числами

Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 1

Вычислите: 17 - 14 - 4.

Решение:
1. Сначала выполним вычитание 17 - 14 = 3.
2. Затем выполним вычитание 3 - 4 = -1.

Ответ: -1

Задание 2 (1)

Вычислите: \(\frac{3}{16} \cdot (\frac{4}{9} - \frac{8}{27})\).

Решение:
1. Сначала найдем разность в скобках: \(\frac{4}{9} - \frac{8}{27}\). Приведем дроби к общему знаменателю 27: \(\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{8}{27} = \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{12 - 8}{27} = \frac{4}{27}\).
2. Теперь умножим результат на \(\frac{3}{16}\): \(\frac{3}{16} \cdot \frac{4}{27} = \frac{3 \cdot 4}{16 \cdot 27} = \frac{12}{432}\).
3. Сократим дробь: \(\frac{12}{432} = \frac{1}{36}\).

Ответ: \(\frac{1}{36}\)

Задание 2 (2)

Вычислите: -7,8 + 6,8 * 1,5.

Решение:
1. Сначала выполним умножение: 6,8 * 1,5 = 10,2.
2. Затем выполним сложение: -7,8 + 10,2 = 2,4.

Ответ: 2,4

Конечно, давайте разберем теоретические основы и правила работы с дробями, которые использовались в задаче 2(1).

Основные понятия

• Дробь — это число, представляющее собой одну или несколько равных частей единицы. Дробь записывается в виде \(\frac{a}{b}\), где:
  • \(a\) — числитель (показывает, сколько частей взято);
  • \(b\) — знаменатель (показывает, на сколько частей разделена единица).

Основные правила работы с дробями

1. Приведение дробей к общему знаменателю:
   • Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель.
   • Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
   • Затем каждую дробь умножают на дополнительный множитель, чтобы её знаменатель стал равен НОК.
   • Пример:
     \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\)
2. Сложение и вычитание дробей:
   • После приведения дробей к общему знаменателю, можно складывать или вычитать их числители. Знаменатель остается прежним.
   • Формула:
     \(\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}\)
   • Пример:
     \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}\)
3. Умножение дробей:
   • Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и знаменатели.
   • Формула:
     \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)
   • Пример:
     \(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6}\)
4. Сокращение дробей:
   • Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на этот делитель.
   • Пример:
     \(\frac{2}{6} = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}\)

Применение этих правил в задаче 2(1)

В задаче 2(1) нам нужно было вычислить: \(\frac{3}{16} \cdot (\frac{4}{9} - \frac{8}{27})\).

1. Находим разность в скобках: \(\frac{4}{9} - \frac{8}{27}\).
   • Приводим дроби к общему знаменателю. НОК(9, 27) = 27.
   • \(\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{12}{27}\).
   • Теперь вычитаем: \(\frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{12 - 8}{27} = \frac{4}{27}\).
2. Умножаем результат на \(\frac{3}{16}\): \(\frac{3}{16} \cdot \frac{4}{27}\).
   • Умножаем числители и знаменатели: \(\frac{3 \cdot 4}{16 \cdot 27} = \frac{12}{432}\).
3. Сокращаем дробь: \(\frac{12}{432}\).
   • Находим общий делитель числителя и знаменателя (например, 12): \(\frac{12 \div 12}{432 \div 12} = \frac{1}{36}\).