Решение определенного интеграла методом замены переменной

Задание 2

Проинтегрируем определенный интеграл:

Для решения этого интеграла используем метод замены переменной.

1. Выбор замены:
   Пусть \(u = 5 - 3\cos x\).
   Тогда дифференциал \(du\) будет:
   \(du = \frac{d}{dx}(5 - 3\cos x) dx\)
   \(du = (0 - 3(-\sin x)) dx\)
   \(du = 3\sin x dx\)

   Отсюда \(\sin x dx = \frac{1}{3} du\).

2. Изменение пределов интегрирования:

   • Нижний предел: когда \(x = \frac{\pi}{3}\), \(u = 5 - 3\cos(\frac{\pi}{3}) = 5 - 3(\frac{1}{2}) = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10-3}{2} = \frac{7}{2}\).
   • Верхний предел: когда \(x = \pi\), \(u = 5 - 3\cos(\pi) = 5 - 3(-1) = 5 + 3 = 8\).

3. Подстановка и интегрирование:
   Теперь интеграл примет вид:
   $$ \int_{\frac{7}{2}}^{8} \frac{1}{u} \left(\frac{1}{3} du\right) $$
   $$ \frac{1}{3} \int_{\frac{7}{2}}^{8} \frac{1}{u} du $$

   Интеграл от \(\frac{1}{u}\) равен \(\ln|u|\).
   $$ \frac{1}{3} [\ln|u|]_{\frac{7}{2}}^{8} $$

4. Вычисление определенного интеграла:
   $$ \frac{1}{3} \left(\ln|8| - \ln\left|\frac{7}{2}\right|\right) $$
   Используя свойство логарифмов \(\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}\):
   $$ \frac{1}{3} \ln\left(\frac{8}{\frac{7}{2}}\right) $$
   $$ \frac{1}{3} \ln\left(8 \cdot \frac{2}{7}\right) $$
   $$ \frac{1}{3} \ln\left(\frac{16}{7}\right) $$

Окончательный ответ:
$$ \frac{1}{3} \ln\left(\frac{16}{7}\right) $$