Задание 1. Лена задумала число

Условие: Лена задумала число, увеличила его на $4\frac{7}{10}$, потом еще на $3\frac{1}{10}$. В результате получила $16\frac{9}{10}$. Какое число задумала Лена?

Решение:

1. Обозначим задуманное число как $x$.
2. Согласно условию, после увеличения на $4\frac{7}{10}$ число стало $x + 4\frac{7}{10}$.
3. После дальнейшего увеличения на $3\frac{1}{10}$ число стало $(x + 4\frac{7}{10}) + 3\frac{1}{10}$.
4. Известно, что в результате получилось $16\frac{9}{10}$. Составим уравнение:
   $x + 4\frac{7}{10} + 3\frac{1}{10} = 16\frac{9}{10}$
5. Сложим смешанные числа в левой части уравнения:
   $4\frac{7}{10} + 3\frac{1}{10} = (4+3) + (\frac{7}{10} + \frac{1}{10}) = 7 + \frac{8}{10} = 7\frac{8}{10}$
6. Уравнение примет вид:
   $x + 7\frac{8}{10} = 16\frac{9}{10}$
7. Чтобы найти $x$, вычтем $7\frac{8}{10}$ из $16\frac{9}{10}$:
   $x = 16\frac{9}{10} - 7\frac{8}{10}$
8. Выполним вычитание смешанных чисел:
   $x = (16-7) + (\frac{9}{10} - \frac{8}{10}) = 9 + \frac{1}{10} = 9\frac{1}{10}$

Ответ: Лена задумала число $9\frac{1}{10}$.

Задание 2. Лодка по течению реки

Условие: Лодка по течению реки проходит $14\frac{3}{5}$ км за час, скорость лодки $9\frac{4}{5}$ км/ч. Найдите скорость течения реки.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки по течению как $v_{\text{теч}}$, скорость лодки относительно воды как $v_{\text{лок}}$, а скорость течения реки как $v_{\text{реки}}$.
2. Известно, что скорость лодки по течению равна сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки:
   $v_{\text{теч}} = v_{\text{лок}} + v_{\text{реки}}$
3. По условию задачи:
   $v_{\text{теч}} = 14\frac{3}{5}$ км/ч
   $v_{\text{лок}} = 9\frac{4}{5}$ км/ч
4. Нам нужно найти $v_{\text{реки}}$. Выразим ее из формулы:
   $v_{\text{реки}} = v_{\text{теч}} - v_{\text{лок}}$
5. Подставим известные значения:
   $v_{\text{реки}} = 14\frac{3}{5} - 9\frac{4}{5}$
6. Для вычитания смешанных чисел нужно привести их к общему знаменателю (он уже есть - 5). Однако, из числителя первой дроби ($\frac{3}{5}$) нельзя вычесть числитель второй дроби ($\frac{4}{5}$). Поэтому "займем" единицу у целой части первой дроби:
   $14\frac{3}{5} = 13 + 1 + \frac{3}{5} = 13 + \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = 13\frac{8}{5}$
7. Теперь выполним вычитание:
   $v_{\text{реки}} = 13\frac{8}{5} - 9\frac{4}{5} = (13-9) + (\frac{8}{5} - \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}$

Ответ: Скорость течения реки составляет $4\frac{4}{5}$ км/ч.

Задание 3. Периметр треугольника

Условие: Найдите периметр треугольника, если одна его сторона равна $5\frac{7}{9}$ см, вторая — на $1\frac{2}{9}$ см меньше первой, а третья — на $\frac{4}{9}$ см больше второй.

Решение:

1. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.
2. По условию, первая сторона $a = 5\frac{7}{9}$ см.
3. Вторая сторона $b$ на $1\frac{2}{9}$ см меньше первой:
   $b = a - 1\frac{2}{9} = 5\frac{7}{9} - 1\frac{2}{9}$
   $b = (5-1) + (\frac{7}{9} - \frac{2}{9}) = 4 + \frac{5}{9} = 4\frac{5}{9}$ см.
4. Третья сторона $c$ на $\frac{4}{9}$ см больше второй:
   $c = b + \frac{4}{9} = 4\frac{5}{9} + \frac{4}{9}$
   $c = 4 + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) = 4 + \frac{9}{9} = 4 + 1 = 5$ см.
5. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
   $P = a + b + c$
6. Подставим найденные значения сторон:
   $P = 5\frac{7}{9} + 4\frac{5}{9} + 5$
7. Сложим целые части и дробные части отдельно:
   $P = (5 + 4 + 5) + (\frac{7}{9} + \frac{5}{9})$
   $P = 14 + \frac{12}{9}$
8. Неправильную дробь $\frac{12}{9}$ преобразуем в смешанное число:
   $\frac{12}{9} = \frac{9+3}{9} = 1\frac{3}{9}$
9. Проведем сокращение дробной части:
   $1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3}$
10. Теперь сложим полученное значение с целой частью периметра:
    $P = 14 + 1\frac{1}{3} = 15\frac{1}{3}$

Ответ: Периметр треугольника равен $15\frac{1}{3}$ см.

Вариант 2. Задание 1. Вычислите:

а) $7+\frac{11}{18}$

Решение:

Чтобы сложить целое число и дробь, нужно представить целое число в виде дроби с тем же знаменателем, что и у другой дроби, или просто добавить целое число к смешанной дроби.

$7+\frac{11}{18} = 7\frac{11}{18}$

Ответ: $7\frac{11}{18}$

б) $12\frac{4}{10}+6\frac{9}{10}$

Решение:

Складываем целые части и дробные части отдельно.

1. Складываем целые части: $12 + 6 = 18$.
2. Складываем дробные части: $\frac{4}{10} + \frac{9}{10} = \frac{4+9}{10} = \frac{13}{10}$.
3. Получаем $18 + \frac{13}{10}$.
4. Дробь $\frac{13}{10}$ является неправильной, преобразуем ее в смешанное число: $\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$.
5. Складываем полученное целое число с предыдущей суммой: $18 + 1\frac{3}{10} = 19\frac{3}{10}$.

Ответ: $19\frac{3}{10}$

в) $8-3\frac{5}{9}$

Решение:

Чтобы вычесть смешанное число из целого, нужно "занять" единицу у целого числа и представить ее в виде дроби с нужным знаменателем.

1. Представим 8 как $7+1$.
2. Представим 1 как дробь со знаменателем 9: $1 = \frac{9}{9}$.
3. Теперь 8 можно записать как $7\frac{9}{9}$.
4. Выполняем вычитание: $7\frac{9}{9} - 3\frac{5}{9}$.
5. Вычитаем целые части: $7 - 3 = 4$.
6. Вычитаем дробные части: $\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$.
7. Соединяем целую и дробную части: $4\frac{4}{9}$.

Ответ: $4\frac{4}{9}$

г) $18\frac{3}{7}-15\frac{6}{7}$

Решение:

Сначала пробуем вычесть дробные части. Так как $\frac{3}{7} < \frac{6}{7}$, нужно "занять" единицу у целой части первого смешанного числа.

1. Представим $18\frac{3}{7}$ как $17 + 1 + \frac{3}{7}$.
2. Представим 1 как дробь со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
3. Теперь $18\frac{3}{7}$ можно записать как $17 + \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = 17\frac{10}{7}$.
4. Выполняем вычитание: $17\frac{10}{7} - 15\frac{6}{7}$.
5. Вычитаем целые части: $17 - 15 = 2$.
6. Вычитаем дробные части: $\frac{10}{7} - \frac{6}{7} = \frac{10-6}{7} = \frac{4}{7}$.
7. Соединяем целую и дробную части: $2\frac{4}{7}$.

Ответ: $2\frac{4}{7}$