Решение задач на смешанные числа: Лена задумала число, лодка по течению, периметр треугольника

Задание 1. Лена задумала число

Условие: Лена задумала число, увеличила его на \(4\frac{7}{10}\), потом еще на \(3\frac{1}{10}\). В результате получила \(16\frac{9}{10}\). Какое число задумала Лена?

Решение:

1. Обозначим задуманное число как \(x\).
2. Согласно условию, после увеличения на \(4\frac{7}{10}\) число стало \(x + 4\frac{7}{10}\).
3. После дальнейшего увеличения на \(3\frac{1}{10}\) число стало \((x + 4\frac{7}{10}) + 3\frac{1}{10}\).
4. Известно, что в результате получилось \(16\frac{9}{10}\). Составим уравнение:
   \(x + 4\frac{7}{10} + 3\frac{1}{10} = 16\frac{9}{10}\)
5. Сложим смешанные числа в левой части уравнения:
   \(4\frac{7}{10} + 3\frac{1}{10} = (4+3) + (\frac{7}{10} + \frac{1}{10}) = 7 + \frac{8}{10} = 7\frac{8}{10}\)
6. Уравнение примет вид:
   \(x + 7\frac{8}{10} = 16\frac{9}{10}\)
7. Чтобы найти \(x\), вычтем \(7\frac{8}{10}\) из \(16\frac{9}{10}\):
   \(x = 16\frac{9}{10} - 7\frac{8}{10}\)
8. Выполним вычитание смешанных чисел:
   \(x = (16-7) + (\frac{9}{10} - \frac{8}{10}) = 9 + \frac{1}{10} = 9\frac{1}{10}\)

Ответ: Лена задумала число \(9\frac{1}{10}\).

Задание 2. Лодка по течению реки

Условие: Лодка по течению реки проходит \(14\frac{3}{5}\) км за час, скорость лодки \(9\frac{4}{5}\) км/ч. Найдите скорость течения реки.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки по течению как \(v_{\text{теч}}\), скорость лодки относительно воды как \(v_{\text{лок}}\), а скорость течения реки как \(v_{\text{реки}}\).
2. Известно, что скорость лодки по течению равна сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки:
   \(v_{\text{теч}} = v_{\text{лок}} + v_{\text{реки}}\)
3. По условию задачи:
   \(v_{\text{теч}} = 14\frac{3}{5}\) км/ч
   \(v_{\text{лок}} = 9\frac{4}{5}\) км/ч
4. Нам нужно найти \(v_{\text{реки}}\). Выразим ее из формулы:
   \(v_{\text{реки}} = v_{\text{теч}} - v_{\text{лок}}\)
5. Подставим известные значения:
   \(v_{\text{реки}} = 14\frac{3}{5} - 9\frac{4}{5}\)
6. Для вычитания смешанных чисел нужно привести их к общему знаменателю (он уже есть - 5). Однако, из числителя первой дроби (\(\frac{3}{5}\)) нельзя вычесть числитель второй дроби (\(\frac{4}{5}\)). Поэтому "займем" единицу у целой части первой дроби:
   \(14\frac{3}{5} = 13 + 1 + \frac{3}{5} = 13 + \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = 13\frac{8}{5}\)
7. Теперь выполним вычитание:
   \(v_{\text{реки}} = 13\frac{8}{5} - 9\frac{4}{5} = (13-9) + (\frac{8}{5} - \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)

Ответ: Скорость течения реки составляет \(4\frac{4}{5}\) км/ч.

Задание 3. Периметр треугольника

Условие: Найдите периметр треугольника, если одна его сторона равна \(5\frac{7}{9}\) см, вторая — на \(1\frac{2}{9}\) см меньше первой, а третья — на \(\frac{4}{9}\) см больше второй.

Решение:

1. Обозначим стороны треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\).
2. По условию, первая сторона \(a = 5\frac{7}{9}\) см.
3. Вторая сторона \(b\) на \(1\frac{2}{9}\) см меньше первой:
   \(b = a - 1\frac{2}{9} = 5\frac{7}{9} - 1\frac{2}{9}\)
   \(b = (5-1) + (\frac{7}{9} - \frac{2}{9}) = 4 + \frac{5}{9} = 4\frac{5}{9}\) см.
4. Третья сторона \(c\) на \(\frac{4}{9}\) см больше второй:
   \(c = b + \frac{4}{9} = 4\frac{5}{9} + \frac{4}{9}\)
   \(c = 4 + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) = 4 + \frac{9}{9} = 4 + 1 = 5\) см.
5. Периметр треугольника \(P\) равен сумме длин всех его сторон:
   \(P = a + b + c\)
6. Подставим найденные значения сторон:
   \(P = 5\frac{7}{9} + 4\frac{5}{9} + 5\)
7. Сложим целые части и дробные части отдельно:
   \(P = (5 + 4 + 5) + (\frac{7}{9} + \frac{5}{9})\)
   \(P = 14 + \frac{12}{9}\)
8. Неправильную дробь \(\frac{12}{9}\) преобразуем в смешанное число:
   \(\frac{12}{9} = \frac{9+3}{9} = 1\frac{3}{9}\)
9. Проведем сокращение дробной части:
   \(1\frac{3}{9} = 1\frac{1}{3}\)
10. Теперь сложим полученное значение с целой частью периметра:
    \(P = 14 + 1\frac{1}{3} = 15\frac{1}{3}\)

Ответ: Периметр треугольника равен \(15\frac{1}{3}\) см.

Вариант 2. Задание 1. Вычислите:

а) \(7+\frac{11}{18}\)

Решение:

Чтобы сложить целое число и дробь, нужно представить целое число в виде дроби с тем же знаменателем, что и у другой дроби, или просто добавить целое число к смешанной дроби.

\(7+\frac{11}{18} = 7\frac{11}{18}\)

Ответ: \(7\frac{11}{18}\)

б) \(12\frac{4}{10}+6\frac{9}{10}\)

Решение:

Складываем целые части и дробные части отдельно.

1. Складываем целые части: \(12 + 6 = 18\).
2. Складываем дробные части: \(\frac{4}{10} + \frac{9}{10} = \frac{4+9}{10} = \frac{13}{10}\).
3. Получаем \(18 + \frac{13}{10}\).
4. Дробь \(\frac{13}{10}\) является неправильной, преобразуем ее в смешанное число: \(\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}\).
5. Складываем полученное целое число с предыдущей суммой: \(18 + 1\frac{3}{10} = 19\frac{3}{10}\).

Ответ: \(19\frac{3}{10}\)

в) \(8-3\frac{5}{9}\)

Решение:

Чтобы вычесть смешанное число из целого, нужно "занять" единицу у целого числа и представить ее в виде дроби с нужным знаменателем.

1. Представим 8 как \(7+1\).
2. Представим 1 как дробь со знаменателем 9: \(1 = \frac{9}{9}\).
3. Теперь 8 можно записать как \(7\frac{9}{9}\).
4. Выполняем вычитание: \(7\frac{9}{9} - 3\frac{5}{9}\).
5. Вычитаем целые части: \(7 - 3 = 4\).
6. Вычитаем дробные части: \(\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}\).
7. Соединяем целую и дробную части: \(4\frac{4}{9}\).

Ответ: \(4\frac{4}{9}\)

г) \(18\frac{3}{7}-15\frac{6}{7}\)

Решение:

Сначала пробуем вычесть дробные части. Так как \(\frac{3}{7} < \frac{6}{7}\), нужно "занять" единицу у целой части первого смешанного числа.

1. Представим \(18\frac{3}{7}\) как \(17 + 1 + \frac{3}{7}\).
2. Представим 1 как дробь со знаменателем 7: \(1 = \frac{7}{7}\).
3. Теперь \(18\frac{3}{7}\) можно записать как \(17 + \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = 17\frac{10}{7}\).
4. Выполняем вычитание: \(17\frac{10}{7} - 15\frac{6}{7}\).
5. Вычитаем целые части: \(17 - 15 = 2\).
6. Вычитаем дробные части: \(\frac{10}{7} - \frac{6}{7} = \frac{10-6}{7} = \frac{4}{7}\).
7. Соединяем целую и дробную части: \(2\frac{4}{7}\).

Ответ: \(2\frac{4}{7}\)