Здравствуйте! Отлично, давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1

Условие: Таксист за месяц проехал 7000 км. Цена бензина 48 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 11 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

Решение:

1. Определим, сколько литров бензина было потрачено на 7000 км:

   • Расход на 100 км: 11 литров
   • Количество "сотен" километров в 7000 км: 7000 км / 100 км = 70
   • Общий расход бензина: 70 * 11 литров = 770 литров

2. Рассчитаем общую стоимость бензина:

   • Цена за литр: 48 рублей
   • Общий расход: 770 литров
   • Общая стоимость: 770 литров * 48 рублей/литр = 36960 рублей

Ответ: Таксист потратил 36960 рублей на бензин за этот месяц.

Задание 2

Условие: В соревнованиях по метанию копья принимает участие 7 спортсменов из России, 5 из Франции, 4 из Польши и 9 из Австрии. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, будет представлять Россию.

Решение:

1. Определим общее количество спортсменов:

   • 7 (Россия) + 5 (Франция) + 4 (Польша) + 9 (Австрия) = 25 спортсменов

2. Рассчитаем вероятность выбора спортсмена из России:

   • Вероятность = (Количество спортсменов из России) / (Общее количество спортсменов)
   • Вероятность = 7 / 25 = 0.28

Ответ: Вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, будет представлять Россию, равна 0.28 или 28%.

Задание 3

Условие: Вычислите значение выражения: $3^9 \cdot 11^{10} : 33^8$

Решение:

1. Представим 33 как произведение 3 и 11:

   • $33 = 3 \cdot 11$

2. Перепишем выражение, используя это представление:

   • $3^9 \cdot 11^{10} : (3 \cdot 11)^8$

3. Раскроем скобки в знаменателе:

   • $3^9 \cdot 11^{10} : (3^8 \cdot 11^8)$

4. Разделим степени с одинаковыми основаниями:

   • $\frac{3^9 \cdot 11^{10}}{3^8 \cdot 11^8} = 3^{9-8} \cdot 11^{10-8} = 3^1 \cdot 11^2$

5. Вычислим результат:

   • $3 \cdot 11^2 = 3 \cdot 121 = 363$

Ответ: Значение выражения равно 363.

Ассистент: Конечно, продолжим решать задания!

Задание 4

Условие: Найдите корень уравнения: $\log_7(6x + 1) = 2$

Решение:

1. Используем определение логарифма:

   • Если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$

2. Применим это к нашему уравнению:

   • $\log_7(6x + 1) = 2$ означает, что $7^2 = 6x + 1$

3. Решим полученное уравнение:

   • $49 = 6x + 1$
   • $6x = 49 - 1$
   • $6x = 48$
   • $x = \frac{48}{6}$
   • $x = 8$

Ответ: Корень уравнения равен 8.

Задание 5

Условие: Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -0.6$ и $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество:

   • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. Выразим $\sin^2 \alpha$:

   • $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$

3. Подставим значение $\cos \alpha$:

   • $\sin^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$

4. Найдем $\sin \alpha$:

   • $\sin \alpha = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8$

5. Определим знак $\sin \alpha$ в заданном интервале:

   • $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ - это IV четверть, где синус отрицателен.
   • Следовательно, $\sin \alpha = -0.8$

Ответ: $\sin \alpha = -0.8$

Задание 6

Условие: Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 2.5 м и 7.5 м. Длинной стороной участок примыкает к дому. Найдите длину забора (в метрах), которым необходимо огородить оставшуюся часть участка.

Решение:

1. Определим, какие стороны участка нужно огородить:

   • Участок примыкает к дому длинной стороной, значит, нужно огородить одну длинную сторону и две короткие.

2. Рассчитаем длину забора:

   • Длина забора = 2.5 м + 2.5 м + 7.5 м = 12.5 м

Ответ: Длина забора, которым необходимо огородить оставшуюся часть участка, равна 12.5 метров.

Ассистент: Продолжим решать оставшиеся задания.

Задание 7

Условие: Шар вписан в цилиндр. Высота цилиндра равна 9 см. Найдите объем шара.

Решение:

1. Определим радиус шара:

   • Так как шар вписан в цилиндр, его диаметр равен высоте цилиндра.
   • Диаметр шара = 9 см
   • Радиус шара $r = \frac{9}{2} = 4.5$ см

2. Вспомним формулу объема шара:

   • $V = \frac{4}{3} \pi r^3$

3. Подставим значение радиуса и вычислим объем:

   • $V = \frac{4}{3} \pi (4.5)^3 = \frac{4}{3} \pi (91.125) = 121.5\pi$

Ответ: Объем шара равен $121.5\pi$ кубических сантиметров.

Задание 8

Условие: В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. Боковое ребро призмы равно 9 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем высоту треугольника в основании:

   • Высота $h$ делит основание пополам.
   • По теореме Пифагора: $h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см

2. Найдем площадь основания призмы (равнобедренного треугольника):

   • $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ см$^2$

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы:

   • Периметр основания $P = 8 + 5 + 5 = 18$ см
   • Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot h_{призмы} = 18 \cdot 9 = 162$ см$^2$

4. Найдем площадь полной поверхности призмы:

   • $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 162 = 24 + 162 = 186$ см$^2$

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 186 см$^2$.

Задание 9

Условие: Решите уравнение: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Решение:

1. Сделаем замену переменной:

   • Пусть $t = \sin x$, тогда уравнение примет вид: $2t^2 + t - 1 = 0$

2. Решим квадратное уравнение:

   • $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
   • $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
   • $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

3. Вернемся к исходной переменной:

   • $\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = -1$

4. Решим каждое уравнение отдельно:

   • $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
   • $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ассистент: Продолжим решать оставшиеся задания.

Задание 10

Условие: Составьте уравнение касательной к графику функции $y = -2x^2 + 8x - 4$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

   • $y(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 4 = -2(4) + 16 - 4 = -8 + 16 - 4 = 4$
   • Точка касания: $(2, 4)$

2. Найдем производную функции:

   • $y' = -4x + 8$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

   • $y'(2) = -4(2) + 8 = -8 + 8 = 0$
   • Это угловой коэффициент касательной.

4. Составим уравнение касательной:

   • $y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)$
   • $y = 0(x - 2) + 4$
   • $y = 4$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 2$ равно $y = 4$.

Все задания решены! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.