Расчет стержневой системы на прочность и удлинение

Задание 1: Расчет на прочность стержневой системы

Условие: Проверить прочность стержневой системы, показанной на рисунке (двутавр, два швеллера).

Исходные данные:

• Угол \(\alpha = 50^\circ\)
• Длина \(l_1 = 4.0\) м
• Угол \(\beta = 10^\circ\)
• Длина \(l_2 = 1.0\) м
• Нагрузка \(P = 160\) кН
• Двутавр № 20
• Швеллер № 24а

Цель: Проверить прочность стержней, рассчитать напряжения и удлинения.

Решение:

1. Определение усилий в стержнях

Для определения усилий в стержнях составим уравнения равновесия для узла, к которому приложена нагрузка \(P\).

• Уравнение равновесия по оси X (горизонтальной):
  Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю.
  $$ \Sigma X = 0 $$
  $$ N_1 \cos \alpha - N_2 \cos \beta = 0 $$
  Отсюда:
  $$ N_1 \cos \alpha = N_2 \cos \beta $$

• Уравнение равновесия по оси Y (вертикальной):
  Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю.
  $$ \Sigma Y = 0 $$
  $$ N_1 \sin \alpha + N_2 \sin \beta - P = 0 $$
  Отсюда:
  $$ N_1 \sin \alpha + N_2 \sin \beta = P $$

Теперь у нас есть система из двух уравнени й с двумя неизвестными (\(N_1\) и \(N_2\)):
1. \(N_1 \cos \alpha = N_2 \cos \beta\)
2. \(N_1 \sin \alpha + N_2 \sin \beta = P\)

Из первого уравнения выразим \(N_2\):
$$ N_2 = N_1 \frac{\cos \alpha}{\cos \beta} $$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$$ N_1 \sin \alpha + \left( N_1 \frac{\cos \alpha}{\cos \beta} \right) \sin \beta = P $$
$$ N_1 \left( \sin \alpha + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \beta} \right) = P $$
$$ N_1 \left( \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \beta} \right) = P $$
Используя формулу синуса суммы углов (\(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)):
$$ N_1 \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \beta} = P $$
$$ N_1 = P \frac{\cos \beta}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Теперь подставим численные значения:
* \(P = 160\) кН
* \(\alpha = 50^\circ\)
* \(\beta = 10^\circ\)
* \(\alpha + \beta = 50^\circ + 10^\circ = 60^\circ\)
* \(\cos 10^\circ \approx 0.9848\)
* \(\sin 60^\circ \approx 0.8660\)

$$ N_1 = 160 \text{ кН} \times \frac{0.9848}{0.8660} \approx 160 \times 1.137 \approx 181.92 \text{ кН} $$
Примечание: В предоставленном решении указано \(N_1 = 32.08\) кН, что значительно отличается. Возможно, в исходных данных или схеме есть неточности, или использованы другие углы/формулы. Попробуем проверить расчет по формулам, приведенным в решении.

Проверка по формулам из решения:

В решении указаны уравнения:
1. \(N_1 \sin \alpha = N_2 \sin \beta\)
2. \(N_1 \cos \alpha + N_2 \cos \beta = P\)

Это отличается от стандартных уравнений равновесия для такой схемы. Давайте попробуем решить систему, предложенную в решении.

Из уравнения 1: \(N_2 = N_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\)

Подставим во второе уравнение:
\(N_1 \cos \alpha + \left( N_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \right) \cos \beta = P\)
\(N_1 \left( \cos \alpha + \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \beta} \right) = P\)
\(N_1 \left( \frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta}{\sin \beta} \right) = P\)
\(N_1 \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta} = P\)
\(N_1 = P \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\)

Подставим значения:
\(N_1 = 160 \text{ кН} \times \frac{\sin 10^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 160 \times \frac{0.1736}{0.8660} \approx 160 \times 0.2005 \approx 32.08 \text{ кН}\)

Это значение совпадает с результатом в решении! Следовательно, в задаче используются именно эти уравнения равновесия.

Теперь найдем \(N_2\):
\(N_2 = N_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = 32.08 \text{ кН} \times \frac{\sin 50^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 32.08 \times \frac{0.7660}{0.1736} \approx 32.08 \times 4.412 \approx 141.53 \text{ кН}\)

Результаты совпадают с приведенными в решении.

Выводы по усилиям:
* Усилие в стержне 1 (\(N_1\)) = \(32.08\) кН (растягивающее, так как направлено от узла)
* Усилие в стержне 2 (\(N_2\)) = \(141.53\) кН (растягивающее, так как направлено от узла)

2. Расчет напряжений и проверка выполнения условия прочности

Для проверки прочности нам нужно знать площадь поперечного сечения стержней и допускаемые напряжения. В исходных данных указаны профили: двутавр № 20 и швеллер № 24а.

• Площадь сечения двутавра № 20: По сортаменту (ГОСТ 26020-80 или аналогичный) площадь сечения двутавра № 20 составляет примерно \(A_{1} = 24.8 \, \text{см}^2 = 0.00248 \, \text{м}^2\).

• Площадь сечения швеллера № 24а: По сортаменту (ГОСТ 8240-97 или аналогичный) площадь сечения швеллера № 24а составляет примерно \(A_{2} = 30.2 \, \text{см}^2 = 0.00302 \, \text{м}^2\).

• Допускаемые напряжения: Для стали Ст3 (типичная конструкционная сталь) допускаемые напряжения при растяжении составляют примерно \(\sigma_{R} = 200 \, \text{МПа} = 200 \, \text{Н/мм}^2 = 200 \times 10^6 \, \text{Па}\). (Точное значение зависит от класса стали и типа нагрузки).

Расчет напряжений:

• Напряжение в стержне 1:
  $$ \sigma_1 = \frac{N_1}{A_1} = \frac{32.08 \times 10^3 \, \text{Н}}{0.00248 \, \text{м}^2} \approx 12.94 \times 10^6 \, \text{Па} = 12.94 \, \text{МПа} $$

• Напряжение в стержне 2:
  $$ \sigma_2 = \frac{N_2}{A_2} = \frac{141.53 \times 10^3 \, \text{Н}}{0.00302 \, \text{м}^2} \approx 46.86 \times 10^6 \, \text{Па} = 46.86 \, \text{МПа} $$

Проверка условия прочности:
Условие прочности при растяжении: \(\sigma \le \sigma_R\).

• Для стержня 1: \(12.94 \, \text{МПа} \le 200 \, \text{МПа}\). Условие выполняется.
• Для стержня 2: \(46.86 \, \text{МПа} \le 200 \, \text{МПа}\). Условие выполняется.

Вывод: Оба стержня (двутавр № 20 и швеллер № 24а) выдерживают приложенную нагрузку при использовании стали с допускаемым напряжением \(200 \, \text{МПа}\).

3. Расчет удлинения каждого стержня

Удлинение стержня под действием осевой силы рассчитывается по формуле:
$$ \Delta l = \frac{N \times l}{A \times E} $$
где:
* \(N\) — продольная сила в стержне
* \(l\) — длина стержня
* \(A\) — площадь поперечного сечения стержня
* \(E\) — модуль упругости материала (для стали \(E \approx 2.0 \times 10^5 \, \text{МПа} = 2.0 \times 10^{11} \, \text{Па}\))

• Удлинение стержня 1:
  $$ \Delta l_1 = \frac{32.08 \times 10^3 \, \text{Н} \times 4.0 \, \text{м}}{0.00248 \, \text{м}^2 \times 2.0 \times 10^{11} \, \text{Па}} \approx \frac{128.32 \times 10^3}{0.496 \times 10^9} \approx 0.2587 \times 10^{-3} \, \text{м} = 0.2587 \, \text{мм} $$

• Удлинение стержня 2:
  $$ \Delta l_2 = \frac{141.53 \times 10^3 \, \text{Н} \times 1.0 \, \text{м}}{0.00302 \, \text{м}^2 \times 2.0 \times 10^{11} \, \text{Па}} \approx \frac{141.53 \times 10^3}{0.604 \times 10^9} \approx 0.2343 \times 10^{-3} \, \text{м} = 0.2343 \, \text{мм} $$

Вывод:
* Удлинение стержня 1 составляет приблизительно \(0.259\) мм.
* Удлинение стержня 2 составляет приблизительно \(0.234\) мм.

Окончательные ответы:

• Усилие в стержне 1 (\(N_1\)): 32.08 кН
• Усилие в стержне 2 (\(N_2\)): 141.53 кН
• Напряжение в стержне 1 (\(\sigma_1\)): 12.94 МПа
• Напряжение в стержне 2 (\(\sigma_2\)): 46.86 МПа
• Условие прочности: Выполняется для обоих стержней.
• Удлинение стержня 1 (\(\Delta l_1\)): ~0.259 мм
• Удлинение стержня 2 (\(\Delta l_2\)): ~0.234 мм