Решение задач по математике: расстояния на плане и местности

Задание 1

Анализ: Задание требует сопоставить населенные пункты с цифрами на плане, используя описание их расположения.

Решение:
1. Деревня Лягушкино: На плане отмечена цифрой 1.
2. Село Вятское: На плане отмечено цифрой 2.
3. Деревня Куровка: На плане отмечена цифрой 3.
4. Деревня Марусино: На плане отмечена цифрой 4.

Ответ:
| Населенные пункты | д. Марусино | с. Вятское | д. Куровка |
| :---------------- | :---------- | :--------- | :--------- |
| Цифры | 4 | 2 | 3 |

Задание 2

Анализ: Задание просит рассчитать расстояние, которое проедут Никита с папой от деревни Куровка до села Вятское. В тексте указано, что лесная дорожка и тропинка образуют прямоугольные треугольники, и на плане расстояние между соседними клетками по прямой составляет 2 км.

Решение:
1. Определение маршрута: Никита и папа едут от деревни Куровка (точка 3) до села Вятское (точка 2).
2. Анализ плана: Путь от точки 3 до точки 2 на плане проходит по пунктирной линии, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катеты этого треугольника проходят по линиям сетки.
3. Измерение катетов:
* Вертикальный катет (разница в положении по вертикали между точками 2 и 3) составляет 2 клетки.
* Горизонтальный катет (разница в положении по горизонтали между точками 2 и 3) составляет 2 клетки.
4. Расчет расстояния по прямой: Расстояние между клетками по прямой — 2 км.
* Длина вертикального катета: \(2 \text{ клетки} \times 2 \text{ км/клетку} = 4 \text{ км}\).
* Длина горизонтального катета: \(2 \text{ клетки} \times 2 \text{ км/клетку} = 4 \text{ км}\).
5. Применение теоремы Пифагора: Расстояние по прямой (гипотенуза) рассчитывается по формуле \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\) и \(b\) — длины катетов.
* Расстояние = \(\sqrt{(4 \text{ км})^2 + (4 \text{ км})^2} = \sqrt{16 \text{ км}^2 + 16 \text{ км}^2} = \sqrt{32 \text{ км}^2} = \sqrt{16 \times 2} \text{ км} = 4\sqrt{2} \text{ км}\).

Ответ: \(4\sqrt{2}\) км.

Задание 3

Анализ: Задание просит найти расстояние между деревней Куровка и деревней Марусино. На плане деревня Куровка обозначена цифрой 3, а деревня Марусино — цифрой 4.

Решение:
1. Определение положения точек: Деревня Куровка — точка 3, деревня Марусино — точка 4.
2. Анализ плана: Точки 3 и 4 расположены на одной горизонтальной линии, разделенной одной клеткой.
3. Расчет расстояния: Расстояние между соседними клетками по горизонтали составляет 2 км.

Ответ: 2 км.

Задание 4

Анализ: Задание требует рассчитать время, которое потребуется Никите с папой, чтобы добраться из деревни Лягушкино в село Вятское по лесной дорожке.

Данные:
* Расстояние от Лягушкино (точка 1) до Вятского (точка 2) по прямой лесной дорожке.
* Скорость по лесной дорожке: 15 км/ч.

Решение:
1. Определение расстояния: Лесная дорожка между Лягушкино (точка 1) и Вятским (точка 2) на плане представлена пунктирной линией. Эта линия является гипотенузой прямоугольного треугольника.
* Вертикальный катет (расстояние между точками 1 и 2 по вертикали): 2 клетки.
* Горизонтальный катет (расстояние между точками 1 и 2 по горизонтали): 2 клетки.
2. Расчет длины катетов в километрах:
* Вертикальный катет: \(2 \text{ клетки} \times 2 \text{ км/клетку} = 4 \text{ км}\).
* Горизонтальный катет: \(2 \text{ клетки} \times 2 \text{ км/клетку} = 4 \text{ км}\).
3. Расчет расстояния по лесной дорожке (гипотенузе): Используем теорему Пифагора:
\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(c = \sqrt{(4 \text{ км})^2 + (4 \text{ км})^2} = \sqrt{16 + 16} \text{ км} = \sqrt{32} \text{ км} = 4\sqrt{2} \text{ км}\).
4. Расчет времени: Время = Расстояние / Скорость.
Время = \(\frac{4\sqrt{2} \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{4\sqrt{2}}{15}\) часа.
5. Перевод в минуты: Чтобы перевести часы в минуты, умножим на 60.
Время в минутах = \(\frac{4\sqrt{2}}{15} \text{ часа} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{час}} = 4\sqrt{2} \times 4 \text{ мин} = 16\sqrt{2} \text{ мин}\).
6. Приближенное значение: \(\sqrt{2} \approx 1.414\).
Время \(\approx 16 \times 1.414 \text{ мин} \approx 22.624 \text{ мин}\).

Ответ: \(16\sqrt{2}\) минут (приблизительно 22.6 минуты).

Задание 5

Анализ: Задание просит рассчитать стоимость набора продуктов (6 л молока, 4 батона хлеба, 3 кг говядины) в магазине, где цены на эти продукты указаны в таблице.

Данные из таблицы:
* Молоко (1 л): д. Лягушкино - 32 руб., с. Вятское - 38 руб., д. Куровка - 31 руб., д. Марусино - 44 руб.
* Хлеб (1 батон): д. Лягушкино - 26 руб., с. Вятское - 28 руб., д. Куровка - 35 руб., д. Марусино - 25 руб.
* Говядина (1 кг): д. Лягушкино - 360 руб., с. Вятское - 350 руб., д. Куровка - 330 руб., д. Марусино - 400 руб.

Решение:
1. Определение магазина: В задании не указано, в каком именно магазине Никита с папой хотят купить продукты. Однако, далее сказано: "В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего?". Это означает, что нужно найти минимальную стоимость по каждому продукту.
2. Поиск минимальных цен:
* Минимальная цена молока (1 л): 31 руб. (в д. Куровка).
* Минимальная цена хлеба (1 батон): 25 руб. (в д. Марусино).
* Минимальная цена говядины (1 кг): 330 руб. (в д. Куровка).
3. Расчет стоимости набора с минимальными ценами:
* Стоимость молока: \(6 \text{ л} \times 31 \text{ руб/л} = 186 \text{ руб}\).
* Стоимость хлеба: \(4 \text{ батона} \times 25 \text{ руб/батон} = 100 \text{ руб}\).
* Стоимость говядины: \(3 \text{ кг} \times 330 \text{ руб/кг} = 990 \text{ руб}\).
4. Общая стоимость:
Общая стоимость = 186 руб. + 100 руб. + 990 руб. = 1276 руб.

Ответ: 1276 рублей.

Задание 6

Анализ: Задание требует найти значение числового выражения.

Выражение: \(\frac{4.9}{1+\frac{1}{6}}\)

Решение:
1. Упрощение знаменателя: Сначала найдем сумму в знаменателе:
\(1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}\).
2. Деление числителя на знаменатель: Теперь разделим числитель (4.9) на упрощенный знаменатель (\(\frac{7}{6}\)):
\(\frac{4.9}{\frac{7}{6}} = 4.9 \div \frac{7}{6} = 4.9 \times \frac{6}{7}\).
3. Преобразование десятичной дроби: Удобнее работать с обыкновенными дробями. \(4.9 = \frac{49}{10}\).
\(\frac{49}{10} \times \frac{6}{7}\).
4. Сокращение: Сократим 49 и 7 (на 7), а 6 и 10 (на 2):
\(\frac{7}{10} \times \frac{6}{1} = \frac{7}{5} \times 3 = \frac{21}{5}\).
5. Перевод в десятичную дробь:
\(\frac{21}{5} = 4.2\).

Ответ: 4.2

Задание 7

Анализ: Задание просит определить, какое число отмечено на прямой точке A.

Решение:
1. Анализ числовой прямой: На прямой отмечены числа 7 и 8. Расстояние между ними разделено на 4 равных отрезка.
2. Определение цены деления: Цена одного деления равна \((8 - 7) / 4 = 1 / 4 = 0.25\).
3. Нахождение значения точки A: Точка A находится на 3 деления правее числа 8.
* Значение точки A = \(8 + 3 \times 0.25 = 8 + 0.75 = 8.75\).
4. Сравнение с вариантами ответов:
* 1) \(\sqrt{43} \approx 6.56\)
* 2) \(\sqrt{58} \approx 7.62\)
* 3) \(\sqrt{71} \approx 8.43\)
* 4) \(\sqrt{79} \approx 8.89\)

Ни один из вариантов точно не соответствует 8.75. Возможно, на плане точка А отмечена не точно, или есть ошибка в вариантах ответа. Однако, если предположить, что точка А находится между 8 и 9, то наиболее близким вариантом является $\sqrt{79}$.

*Перепроверим расположение точки А. Она находится примерно на 3/4 пути между 8 и 9. Действительно, $8 + 3/4 = 8.75$.
Теперь проверим варианты:
$\sqrt{43} \approx 6.557$
$\sqrt{58} \approx 7.616$
$\sqrt{71} \approx 8.426$
$\sqrt{79} \approx 8.888$

Наиболее близким значением к 8.75 является $\sqrt{79}$ (8.888). Однако, если предположить, что точка А находится на 3 деления *после* 8, то значение 8.75. Если посмотреть на рисунок, то точка А ближе к 9, чем к 8. Позиция А соответствует 8.75.

**Важное замечание:** В таких задачах, где есть визуальное представление и варианты ответов, нужно внимательно смотреть на расположение точки. Точка А на рисунке находится ровно на 3 деления правее 8. Значит, ее значение 8.75.

Давайте пересмотрим варианты:
1. $\sqrt{43} \approx 6.56$
2. $\sqrt{58} \approx 7.62$
3. $\sqrt{71} \approx 8.43$
4. $\sqrt{79} \approx 8.89$

Если мы ищем значение $x$ такое, что $x=8.75$, то $x^2 = 8.75^2 = 76.5625$.

Сравним с квадратами чисел под корнем:
1. $43$
2. $58$
3. $71$
4. $79$

Наиболее близкое значение к $76.5625$ — это $71$ и $79$. $76.5625 - 71 = 5.5625$. $79 - 76.5625 = 2.4375$.

Значит, $\sqrt{79}$ ближе к 8.75, чем $\sqrt{71}$.

**Однако,** если взглянуть на рисунок, то точка А находится между 8 и 9. Она расположена ровно на 3/4 пути от 8 до 9. $8 + \frac{3}{4} = 8.75$.

Теперь проверим варианты.
*   $\sqrt{71} \approx 8.43$
*   $\sqrt{79} \approx 8.89$

Расстояние от 8.75 до 8.43 равно $0.32$.
Расстояние от 8.75 до 8.89 равно $0.14$.

Поэтому $\sqrt{79}$ является наиболее близким ответом. Возможно, на рисунке точка А указана не точно, или варианты ответов приблизительные. В контексте экзаменов, где нужно выбрать лучший вариант, $\sqrt{79}$ — наиболее подходящий.

Ответ: 4) \(\sqrt{79}\)

Задание 8

Анализ: Задание требует найти значение выражения \(\frac{a^{37} \cdot b^{7}}{(a \cdot b)^{32}}\) при \(a=2\) и \(b=\sqrt{2}\).

Решение:
1. Упрощение выражения: Сначала упростим дробь, используя свойства степеней:
\(\frac{a^{37} \cdot b^{7}}{(a \cdot b)^{32}} = \frac{a^{37} \cdot b^{7}}{a^{32} \cdot b^{32}}\)
Теперь вычтем степени с одинаковым основанием:
\(a^{37-32} \cdot b^{7-32} = a^{5} \cdot b^{-25} = \frac{a^5}{b^{25}}\).
2. Подстановка значений: Теперь подставим \(a=2\) и \(b=\sqrt{2}\):
\(\frac{2^5}{(\sqrt{2})^{25}}\).
3. Вычисление:
* \(2^5 = 32\).
* \((\sqrt{2})^{25} = (2^{1/2})^{25} = 2^{(1/2) \times 25} = 2^{12.5} = 2^{12} \cdot 2^{0.5} = 2^{12} \cdot \sqrt{2}\).
* \(2^{10} = 1024\), \(2^{11} = 2048\), \(2^{12} = 4096\).
* Значит, \((\sqrt{2})^{25} = 4096\sqrt{2}\).
4. Подстановка обратно в дробь:
\(\frac{32}{4096\sqrt{2}}\).
5. Сокращение: Сократим 32 и 4096. \(4096 / 32 = 128\).
\(\frac{1}{128\sqrt{2}}\).
6. Избавление от иррациональности в знаменателе (если требуется, но обычно не требуется, если не указано):
\(\frac{1}{128\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{128 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{256}\).

Ответ: \(\frac{1}{128\sqrt{2}}\) или \(\frac{\sqrt{2}}{256}\).

Задание 9

Анализ: Задание просит найти корень уравнения \(x^4 - 400 = 0\) и указать меньший из корней.

Решение:
1. Перенесем константу:
\(x^4 = 400\).
2. Извлечем квадратный корень:
\(x^2 = \pm \sqrt{400}\).
\(x^2 = \pm 20\).
3. Рассмотрим два случая:
* Случай 1: \(x^2 = 20\).
Извлекаем квадратный корень: \(x = \pm \sqrt{20}\).
Упростим \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\).
Корни: \(2\sqrt{5}\) и \(-2\sqrt{5}\).
* Случай 2: \(x^2 = -20\).
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
4. Определение меньшего корня: Действительные корни уравнения: \(2\sqrt{5}\) и \(-2\sqrt{5}\).
Меньший корень — отрицательный.
\(-2\sqrt{5} \approx -2 \times 2.236 = -4.472\).
\(2\sqrt{5} \approx 4.472\).

Ответ: \(-2\sqrt{5}\)

Задание 10

Анализ: Задание просит найти вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из Норвегии.

Данные:
* Всего спортсменов: 15 (из России) + 8 (из Норвегии) + 2 (из Швеции) = 25 спортсменов.
* Спортсмены из Норвегии: 8.
* Спортсмены не из Норвегии: 15 (из России) + 2 (из Швеции) = 17 спортсменов.

Решение:
1. Определение общего числа исходов: Общее количество спортсменов, которые могут стартовать первыми, равно 25.
2. Определение числа благоприятных исходов: Благоприятными исходами являются случаи, когда первым стартует спортсмен не из Норвегии. Таких спортсменов 17.
3. Расчет вероятности: Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P(\text{не Норвегия}) = \frac{\text{Число спортсменов не из Норвегии}}{\text{Общее число спортсменов}} = \frac{17}{25}\).

Ответ: \(\frac{17}{25}\)

Прошу прощения, но кажется, мы уже разобрали все задания, которые были представлены в тексте и на изображении. Если у вас остались еще вопросы или другие задания, пожалуйста, предоставьте их.