Решение системы линейных уравнений онлайн

Язык задания: Russian

В задании представлена система линейных уравнений. Необходимо решить эту систему.

Задание 1

Решить систему линейных уравнений:

\(\begin{cases} 0x_1 + 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \\ x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 2x_4 = 1 \\ x_1 + 4x_2 - x_3 + 0x_4 = -3 \\ 0x_1 + 0x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}\)

Решение:

1. Упростим систему:

\(\begin{cases} 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_4 = 1 \\ x_1 + 4x_2 - x_3 = -3 \\ -x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}\)

2. Выразим \(x_1\) из второго уравнения:

\(x_1 = 1 - 2x_4\)

3. Подставим выражение для \(x_1\) в третье уравнение:

\((1 - 2x_4) + 4x_2 - x_3 = -3\)
\(4x_2 - x_3 - 2x_4 = -4\)

4. Теперь у нас есть следующая система:

\(\begin{cases} 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \\ 4x_2 - x_3 - 2x_4 = -4 \\ -x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}\)

5. Вычтем второе уравнение из первого:

\((4x_2 - x_3 + 3x_4) - (4x_2 - x_3 - 2x_4) = 1 - (-4)\)
\(5x_4 = 5\)
\(x_4 = 1\)

6. Подставим \(x_4 = 1\) в уравнение \(-x_3 + 2x_4 = 0\):

\(-x_3 + 2(1) = 0\)
\(x_3 = 2\)

7. Подставим \(x_4 = 1\) и \(x_3 = 2\) в уравнение \(4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1\):

\(4x_2 - 2 + 3(1) = 1\)
\(4x_2 + 1 = 1\)
\(4x_2 = 0\)
\(x_2 = 0\)

8. Подставим \(x_4 = 1\) в уравнение \(x_1 = 1 - 2x_4\):

\(x_1 = 1 - 2(1)\)
\(x_1 = -1\)

Ответ:

\(x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2, x_4 = 1\)

Язык задания: Russian

Привет! Сейчас я помогу тебе разобраться с решением системы уравнений. На фотографии я вижу три задания, которые нужно решить. Начнем с первого.

Задание 1

Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

Решение:

1. Метод сложения: Этот метод заключается в том, чтобы сложить уравнения системы таким образом, чтобы одна из переменных исчезла. В данном случае, если мы сложим первое и второе уравнения, переменная y исчезнет.

2. Складываем уравнения:
   \((x + y) + (x - y) = 5 + 1\)

3. Упрощаем:
   \(2x = 6\)

4. Находим x:
   \(x = \frac{6}{2} = 3\)

5. Подставляем значение x в одно из уравнений: Подставим x = 3 в первое уравнение:
   \(3 + y = 5\)

6. Находим y:
   \(y = 5 - 3 = 2\)

Ответ: \(x = 3\), \(y = 2\)

Задание 2

Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + y = 4 \end{cases}\)

Решение:

1. Метод вычитания: В данном случае, мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы избавиться от переменной y.

2. Вычитаем уравнения: Вычтем второе уравнение из первого:
   \((2x + y) - (x + y) = 7 - 4\)

3. Упрощаем:
   \(x = 3\)

4. Подставляем значение x в одно из уравнений: Подставим x = 3 во второе уравнение:
   \(3 + y = 4\)

5. Находим y:
   \(y = 4 - 3 = 1\)

Ответ: \(x = 3\), \(y = 1\)

Задание 3

Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} x + 2y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}\)

Решение:

1. Метод вычитания: В данном случае, мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы избавиться от переменной x.

2. Вычитаем уравнения: Вычтем второе уравнение из первого:
   \((x + 2y) - (x - y) = 5 - 2\)

3. Упрощаем:
   \(3y = 3\)

4. Находим y:
   \(y = \frac{3}{3} = 1\)

5. Подставляем значение y в одно из уравнений: Подставим y = 1 во второе уравнение:
   \(x - 1 = 2\)

6. Находим x:
   \(x = 2 + 1 = 3\)

Ответ: \(x = 3\), \(y = 1\)