Решение систем уравнений методом Крамера

Здравствуйте! Давайте решим системы уравнений по формулам Крамера.

Задание 1.15a

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x - 2y + z = 9 \
2x + 3y - 2z = -5 \
3x - y - z = 4
\end{cases}
$$

1. Вычислим главный определитель системы (Δ):

\(\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3-2) + 2(-2+6) + 1(-2-9) = -5 + 8 - 11 = -8\)

2. Вычислим определитель для x (Δx): Заменим первый столбец главного определителя на столбец свободных членов.

\(\Delta_x = \begin{vmatrix} 9 & -2 & 1 \\ -5 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 9 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 9(-3-2) + 2(5+8) + 1(5-12) = -45 + 26 - 7 = -26\)

3. Вычислим определитель для y (Δy): Заменим второй столбец главного определителя на столбец свободных членов.

\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 2 & -5 & -2 \\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - 9 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1(5+8) - 9(-2+6) + 1(8+15) = 13 - 36 + 23 = 0\)

4. Вычислим определитель для z (Δz): Заменим третий столбец главного определителя на столбец свободных членов.

\(\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 9 \\ 2 & 3 & -5 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 9 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1(12-5) + 2(8+15) + 9(-2-9) = 7 + 46 - 99 = -46\)

5. Найдем значения x, y, z по формулам Крамера:

\(x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-26}{-8} = \frac{13}{4} = 3.25\)

\(y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-8} = 0\)

\(z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-46}{-8} = \frac{23}{4} = 5.75\)

Ответ: \(x = 3.25\), \(y = 0\), \(z = 5.75\)