Анализ функции y = (2x-5)/(x+1)

Задание D

В этом задании нужно написать букву "F" рядом со словами, относящимися к фильму, и букву "M" рядом со словами, относящимися к музыке.

Давайте разберем каждое слово:

1. music charts (музыкальные чарты) - относится к музыке → M
2. single (сингл) - музыкальный термин → M
3. script (сценарий) - относится к фильму → F
4. powerful voice (сильный голос) - относится к музыке → M
5. special effects (спецэффекты) - относится к фильму → F
6. acting (актерская игра) - относится к фильму → F
7. plot (сюжет) - относится к фильму → F
8. lyrics (текст песни) - относится к музыке → M

Таким образом, правильные ответы:
1. M
2. M
3. F
4. M
5. F
6. F
7. F
8. M

Задание E

В этом задании нужно подчеркнуть правильный вариант из двух предложенных (сравнительная или превосходная степень прилагательного).

Давайте разберем каждое предложение:

1. "I think actors are most famous/more famous than singers."
   - Здесь мы сравниваем две группы (актеров и певцов), поэтому используем сравнительную степень: more famous

2. "I prefer thrillers because the scripts are always more interesting/most interesting than romances."
   - Здесь также сравниваются две категории (триллеры и романтические фильмы), поэтому правильно: more interesting

3. "Madonna is more talented/most talented than Beyonce."
   - Сравниваются две певицы, поэтому используем сравнительную степень: more talented

4. "This song is the most successful/more successful song ever!"
   - Здесь песня сравнивается со всеми другими песнями (указывает на превосходство над всеми), поэтому используем превосходную степень: the most successful

Правило:
- Сравнительная степень (more + прилагательное) используется при сравнении двух объектов/групп
- Превосходная степень (the most + прилагательное) используется, когда что-то превосходит все остальные объекты в своей категории

Задание F

В этом задании нужно заполнить таблицу, указав сравнительную и превосходную степени для данных прилагательных.

Давайте заполним таблицу:

Для прилагательного "funny" (короткое прилагательное, заканчивающееся на -y):
- Сравнительная степень: funnier (than)
- Превосходная степень: (the) funniest

Для прилагательного "successful" (длинное прилагательное):
- Сравнительная степень: more successful (than)
- Превосходная степень: (the) most successful

Для строки 3, где указана превосходная степень "(the) most talented", прилагательное должно быть "talented":
- Прилагательное: talented
- Сравнительная степень: more talented (than)
- Превосходная степень: (the) most talented

Для строки 2, где указана сравнительная степень "more famous (than)", прилагательное должно быть "famous":
- Прилагательное: famous
- Сравнительная степень: more famous (than)
- Превосходная степень: (the) most famous

Задание G

В этом задании нужно заполнить диалог, используя Past Simple или Present Perfect для глаголов в скобках.

Давайте разберем каждый пропуск:

1) A: Have you ever seen (you/ever/see) the film "Titanic"?
- Здесь используется Present Perfect, так как речь идет о жизненном опыте без указания конкретного времени.

2) B: No, but I watched (I/see) "The Notebook" last night.
- Здесь используется Past Simple, так как указано конкретное время действия (last night).

3) A: I haven't seen (I/never/see) that movie. Is it good?
- Здесь используется Present Perfect, так как говорится о действии, которое не произошло до настоящего момента.

4) B: Yes, I loved (I/love) it! It had great music too. I bought the CD.
- Здесь используется Past Simple, так как речь идет о завершенном действии в прошлом.

5) A: Have you ever seen (you/ever/see) Shrek 2? There is great rock music in the movie!
- Здесь используется Present Perfect, так как речь идет о жизненном опыте.

6) B: No, but I watched (I/watch) The Lord of the Rings last week on TV, and
- Здесь используется Past Simple, так как указано конкретное время (last week).

7) B: I thought (I/think) the script was excellent.
- Здесь используется Past Simple, так как речь идет о мнении, сформированном в прошлом.

8) A: Oh really? I haven't seen (I/not/see) that yet.
- Здесь используется Present Perfect, так как говорится о действии, которое не произошло до настоящего момента, с использованием "yet".

Правило:
- Present Perfect используется для действий, которые связывают прошлое с настоящим, или для жизненного опыта без указания конкретного времени (часто с ever, never, yet).
- Past Simple используется для действий, которые произошли в определенное время в прошлом (часто с указанием времени, например, last night, yesterday, last week).

Задание H

В этом задании нужно дополнить предложения, используя слова: since, ago, yet, for или always.

Давайте разберем каждое предложение:

1. I have always been a fan of Justin Timberlake!
   - Здесь уже есть ответ - always, что указывает на постоянное действие, которое началось в прошлом и продолжается до сих пор.

2. He has been acting in the same TV show for five years.
   - Здесь нужно использовать for, так как указывается период времени (five years).

3. I've been a fan of Johnny Depp since 2003.
   - Здесь нужно использовать since, так как указывается конкретный момент начала действия (2003 год).

4. I met Beth ten years ago.
   - Здесь нужно использовать ago, так как указывается, сколько времени прошло с момента события.

5. Have you heard Shakira's new song yet?
   - Здесь нужно использовать yet, так как это вопрос о том, произошло ли действие к настоящему моменту.

Правило использования:
- since - используется с указанием конкретного момента начала действия (с 2003, с понедельника)
- for - используется с указанием продолжительности действия (в течение 5 лет, 2 часа)
- ago - используется для указания, сколько времени прошло с момента события в прошлом
- yet - используется в вопросах и отрицаниях для обозначения действия, которое ожидается к настоящему моменту
- always - используется для обозначения постоянного действия

Анализ функции \(y = \frac{2x-5}{x+1}\)

Рассмотрим функцию \(y = \frac{2x-5}{x+1}\) и выполним полный анализ.

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений \(x\), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю:
\(x + 1 \neq 0\)
\(x \neq -1\)

Таким образом, область определения функции: \(D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\) или \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)\)

2. Заполнение таблицы значений

В таблице уже есть некоторые значения, проверим их и заполним пропуски:

При \(x = 0\):
\(y = \frac{2 \cdot 0 - 5}{0 + 1} = \frac{-5}{1} = -5\) ✓

При \(x = 2,5\):
\(y = \frac{2 \cdot 2,5 - 5}{2,5 + 1} = \frac{5 - 5}{3,5} = \frac{0}{3,5} = 0\) ✓

При \(x = -1\):
Знаменатель равен нулю, функция не определена, поэтому в таблице стоит прочерк ✓

При \(x\) из последнего столбца (значение \(y = 2\)):
Найдем, при каком \(x\) значение \(y = 2\):
\(\frac{2x-5}{x+1} = 2\)
\(2x-5 = 2(x+1)\)
\(2x-5 = 2x+2\)
\(-5 = 2\)

Получили противоречие. Возможно, в таблице ошибка. Проверим, при каком \(x\) значение \(y\) действительно равно 2:

\(\frac{2x-5}{x+1} = 2\)
\(2x-5 = 2(x+1)\)
\(2x-5 = 2x+2\)
\(-5 = 2\)

Это невозможно. Значит, функция не может принимать значение \(y = 2\). В таблице, вероятно, ошибка.

3. Область значений функции

Для нахождения области значений преобразуем функцию:
\(y = \frac{2x-5}{x+1} = \frac{2(x+1)-7}{x+1} = 2 - \frac{7}{x+1}\)

При \(x \to -1^-\) (слева) \(y \to -\infty\)
При \(x \to -1^+\) (справа) \(y \to +\infty\)

При \(x \to \pm\infty\), \(y \to 2\) (горизонтальная асимптота)

Таким образом, область значений: \(E(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) или \(y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\)

4. Точка пересечения с осью ординат (y)

При \(x = 0\):
\(y = \frac{2 \cdot 0 - 5}{0 + 1} = \frac{-5}{1} = -5\)

Точка пересечения с осью ординат: \((0; -5)\)

5. Точки пересечения с осью абсцисс (x)

При \(y = 0\):
\(\frac{2x-5}{x+1} = 0\)
\(2x-5 = 0\)
\(2x = 5\)
\(x = \frac{5}{2} = 2,5\)

Точка пересечения с осью абсцисс: \((2,5; 0)\)

6. Принадлежит ли точка (5; -2) графику функции?

Проверим, удовлетворяет ли точка \((5; -2)\) уравнению функции:
\(y = \frac{2x-5}{x+1}\)
\(-2 = \frac{2 \cdot 5 - 5}{5 + 1}\)
\(-2 = \frac{10 - 5}{6}\)
\(-2 = \frac{5}{6}\)

Получаем \(-2 \neq \frac{5}{6}\), значит, точка \((5; -2)\) не принадлежит графику функции.