Решение задач с дробями и десятичными числами

Задание 1.16

Часть a)

Цель: Вычислить значение выражения \(A = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right) : \left(1 - \frac{3}{2} - \frac{3}{4}\right)\).

Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
В данном выражении смешанных чисел нет, но есть целые числа, которые можно представить как дроби.

Шаг 2: Приведем дроби в первых скобках к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 2 и 8 равен 8.
\(2 = \frac{2 \times 8}{8} = \frac{16}{8}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}\)
Выражение в первых скобках становится:
\(\frac{16}{8} - \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{16 - 4 - 1}{8} = \frac{11}{8}\)

Шаг 3: Приведем дроби во вторых скобках к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 2 и 4 равен 4.
\(1 = \frac{1 \times 4}{4} = \frac{4}{4}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4}\)
Выражение во вторых скобках становится:
\(\frac{4}{4} - \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 6 - 3}{4} = \frac{-5}{4}\)

Шаг 4: Выполним деление дробей.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
\(A = \frac{11}{8} : \left(\frac{-5}{4}\right) = \frac{11}{8} \times \left(\frac{4}{-5}\right)\)

Шаг 5: Умножим дроби.
\(A = \frac{11 \times 4}{8 \times (-5)} = \frac{44}{-40}\)

Шаг 6: Сократим дробь.
Разделим числитель и знаменатель на 4.
\(A = \frac{44 \div 4}{-40 \div 4} = \frac{11}{-10} = -\frac{11}{10}\)

Ответ: \(A = -\frac{11}{10}\)

Часть b)

Цель: Вычислить значение выражения \(B = 5 - \frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}\).

Шаг 1: Вычислим числитель дроби в выражении.
\(1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}\)

Шаг 2: Вычислим знаменатель дроби в выражении.
\(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}\)

Шаг 3: Разделим числитель на знаменатель полученной дроби.
\(\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{3 \times 2} = \frac{12}{6} = 2\)

Шаг 4: Вычтем полученное значение из 5.
\(B = 5 - 2 = 3\)

Ответ: \(B = 3\)

Задание 1.17

Цель: Вычислить значение выражения \(1,2 \cdot \frac{15}{4} + \frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{85}{8}\right) - 1,25 \cdot 5 \frac{3}{4} - \frac{16}{7} \cdot \frac{-71}{8}\) наиболее удобным способом.

Шаг 1: Преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.
\(1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\)
\(1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\)
\(5 \frac{3}{4} = \frac{5 \times 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}\)

Шаг 2: Подставим преобразованные значения в выражение.
\(\frac{6}{5} \cdot \frac{15}{4} + \frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{85}{8}\right) - \frac{5}{4} \cdot \frac{23}{4} - \frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{71}{8}\right)\)

Шаг 3: Выполним умножение дробей.
\(\frac{6}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{6 \times 15}{5 \times 4} = \frac{90}{20} = \frac{9}{2}\)
\(\frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{85}{8}\right) = \frac{16 \times (-85)}{7 \times 8} = \frac{2 \times (-85)}{7 \times 1} = -\frac{170}{7}\)
\(\frac{5}{4} \cdot \frac{23}{4} = \frac{5 \times 23}{4 \times 4} = \frac{115}{16}\)
\(\frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{71}{8}\right) = \frac{16 \times (-71)}{7 \times 8} = \frac{2 \times (-71)}{7 \times 1} = -\frac{142}{7}\)

Шаг 4: Подставим результаты умножения обратно в выражение.
\(\frac{9}{2} - \frac{170}{7} - \frac{115}{16} - \left(-\frac{142}{7}\right)\)
\(\frac{9}{2} - \frac{170}{7} - \frac{115}{16} + \frac{142}{7}\)

Шаг 5: Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.
\(\frac{9}{2} - \frac{115}{16} + \left(-\frac{170}{7} + \frac{142}{7}\right)\)

Шаг 6: Выполним сложение и вычитание дробей.
\(-\frac{170}{7} + \frac{142}{7} = \frac{-170 + 142}{7} = \frac{-28}{7} = -4\)

Шаг 7: Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 2 и 16 равен 16.
\(\frac{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 8} = \frac{72}{16}\)
Выражение становится:
\(\frac{72}{16} - \frac{115}{16} - 4\)

Шаг 8: Выполним вычитание дробей.
\(\frac{72 - 115}{16} - 4 = \frac{-43}{16} - 4\)

Шаг 9: Приведем к общему знаменателю для вычитания целого числа.
\(4 = \frac{4 \times 16}{16} = \frac{64}{16}\)
\(\frac{-43}{16} - \frac{64}{16} = \frac{-43 - 64}{16} = \frac{-107}{16}\)

Ответ: \(\frac{-107}{16}\)

Chào bạn, tôi sẽ giải các bài tập này bằng tiếng Việt.

Bài 1.16

Phần a)

Mục tiêu: Tính giá trị của biểu thức \(A = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right) : \left(1 - \frac{3}{2} - \frac{3}{4}\right)\).

Bước 1: Quy đồng mẫu số các phân số trong ngoặc thứ nhất.
Mẫu số chung của 2 và 8 là 8.
\(2 = \frac{2 \times 8}{8} = \frac{16}{8}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}\)
Vậy biểu thức trong ngoặc thứ nhất là:
\(\frac{16}{8} - \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{16 - 4 - 1}{8} = \frac{11}{8}\)

Bước 2: Quy đồng mẫu số các phân số trong ngoặc thứ hai.
Mẫu số chung của 2 và 4 là 4.
\(1 = \frac{1 \times 4}{4} = \frac{4}{4}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4}\)
Vậy biểu thức trong ngoặc thứ hai là:
\(\frac{4}{4} - \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 6 - 3}{4} = \frac{-5}{4}\)

Bước 3: Thực hiện phép chia hai phân số.
Chia một phân số cho một phân số khác nghĩa là nhân phân số thứ nhất với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai.
\(A = \frac{11}{8} : \left(\frac{-5}{4}\right) = \frac{11}{8} \times \left(\frac{4}{-5}\right)\)

Bước 4: Nhân hai phân số.
\(A = \frac{11 \times 4}{8 \times (-5)} = \frac{44}{-40}\)

Bước 5: Rút gọn phân số.
Chia cả tử số và mẫu số cho 4.
\(A = \frac{44 \div 4}{-40 \div 4} = \frac{11}{-10} = -\frac{11}{10}\)

Kết quả: \(A = -\frac{11}{10}\)

Phần b)

Mục tiêu: Tính giá trị của biểu thức \(B = 5 - \frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}\).

Bước 1: Tính tử số của phân số phức.
\(1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}\)

Bước 2: Tính mẫu số của phân số phức.
\(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}\)

Bước 3: Chia tử số cho mẫu số của phân số phức.
\(\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{3 \times 2} = \frac{12}{6} = 2\)

Bước 4: Trừ kết quả vừa tìm được khỏi 5.
\(B = 5 - 2 = 3\)

Kết quả: \(B = 3\)

Bài 1.17

Mục tiêu: Tính giá trị của biểu thức \(1,2 \cdot \frac{15}{4} + \frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{85}{8}\right) - 1,25 \cdot 5 \frac{3}{4} - \frac{16}{7} \cdot \frac{-71}{8}\) một cách hợp lý.

Bước 1: Chuyển đổi các số thập phân và hỗn số thành phân số.
\(1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\)
\(1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\)
\(5 \frac{3}{4} = \frac{5 \times 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}\)

Bước 2: Thay các giá trị đã chuyển đổi vào biểu thức.
\(\frac{6}{5} \cdot \frac{15}{4} + \frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{85}{8}\right) - \frac{5}{4} \cdot \frac{23}{4} - \frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{71}{8}\right)\)

Bước 3: Thực hiện phép nhân các phân số.
\(\frac{6}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{6 \times 15}{5 \times 4} = \frac{90}{20} = \frac{9}{2}\)
\(\frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{85}{8}\right) = \frac{16 \times (-85)}{7 \times 8} = \frac{2 \times (-85)}{7 \times 1} = -\frac{170}{7}\)
\(\frac{5}{4} \cdot \frac{23}{4} = \frac{5 \times 23}{4 \times 4} = \frac{115}{16}\)
\(\frac{16}{7} \cdot \left(-\frac{71}{8}\right) = \frac{16 \times (-71)}{7 \times 8} = \frac{2 \times (-71)}{7 \times 1} = -\frac{142}{7}\)

Bước 4: Thay kết quả phép nhân trở lại biểu thức.
\(\frac{9}{2} - \frac{170}{7} - \frac{115}{16} - \left(-\frac{142}{7}\right)\)
\(\frac{9}{2} - \frac{170}{7} - \frac{115}{16} + \frac{142}{7}\)

Bước 5: Nhóm các phân số có cùng mẫu số.
\(\frac{9}{2} - \frac{115}{16} + \left(-\frac{170}{7} + \frac{142}{7}\right)\)

Bước 6: Thực hiện phép cộng và trừ các phân số.
\(-\frac{170}{7} + \frac{142}{7} = \frac{-170 + 142}{7} = \frac{-28}{7} = -4\)

Bước 7: Quy đồng mẫu số các phân số còn lại.
Mẫu số chung của 2 và 16 là 16.
\(\frac{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 8} = \frac{72}{16}\)
Biểu thức trở thành:
\(\frac{72}{16} - \frac{115}{16} - 4\)

Bước 8: Thực hiện phép trừ các phân số.
\(\frac{72 - 115}{16} - 4 = \frac{-43}{16} - 4\)

Bước 9: Quy đồng mẫu số để trừ số nguyên.
\(4 = \frac{4 \times 16}{16} = \frac{64}{16}\)
\(\frac{-43}{16} - \frac{64}{16} = \frac{-43 - 64}{16} = \frac{-107}{16}\)

Kết quả: \(\frac{-107}{16}\)