Решение задач по математике: тригонометрия, логарифмы, уравнения, производные, интегралы

Конечно, я помогу тебе с решением задач с 4 по 16.

Задание 4

Упростите выражение и найдите его значение:
\(\cos 35^\circ \cdot \cos 10^\circ - \sin 35^\circ \cdot \sin 10^\circ\)

Решение:
Это выражение представляет собой формулу косинуса суммы двух углов:
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta\)

В нашем случае \(\alpha = 35^\circ\) и \(\beta = 10^\circ\).
Применяя формулу, получаем:
\(\cos 35^\circ \cdot \cos 10^\circ - \sin 35^\circ \cdot \sin 10^\circ = \cos(35^\circ + 10^\circ) = \cos 45^\circ\)

Значение \(\cos 45^\circ\) известно и равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Задание 5

Найдите значение выражения: \(\log_5 12 + \log_5 108\)

Решение:
Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения.
\(\log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N)\)

Применяем это свойство к нашему выражению:
\(\log_5 12 + \log_5 108 = \log_5 (12 \cdot 108)\)

Вычисляем произведение:
\(12 \cdot 108 = 12 \cdot (100 + 8) = 1200 + 96 = 1296\)

Теперь нам нужно найти \(\log_5 1296\).
Заметим, что \(1296 = 6^4\).
Также можно заметить, что \(12 = 2^2 \cdot 3\) и \(108 = 2^2 \cdot 3^3\).
Тогда \(12 \cdot 108 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3^3) = 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4\).

Однако, это не упрощает вычисление логарифма по основанию 5. Давайте проверим, нет ли ошибки в условии или в моих рассуждениях.

Пересмотрим произведение:
\(12 \cdot 108 = 1296\).
Нам нужно найти такое число \(x\), что \(5^x = 1296\).
\(5^1 = 5\)
\(5^2 = 25\)
\(5^3 = 125\)
\(5^4 = 625\)
\(5^5 = 3125\)

Значение 1296 не является целой степенью 5. Возможно, в задании предполагалось другое основание логарифма или другие числа.

Давайте предположим, что в задании была опечатка и числа были подобраны так, чтобы получить целое число. Например, если бы было \(\log_6 12 + \log_6 18\), то \(\log_6 (12 \cdot 18) = \log_6 216 = \log_6 6^3 = 3\).

Если же условие задачи верное, то ответ будет \(\log_5 1296\). Его можно приближенно вычислить, но точного значения в виде простого числа или корня не получится.

Предположим, что в задании имелось в виду: \(\log_6 12 + \log_6 18\).
Тогда: \(\log_6 12 + \log_6 18 = \log_6 (12 \cdot 18) = \log_6 216\).
Так как \(216 = 6^3\), то \(\log_6 216 = 3\).

Если же условие задачи верное: \(\log_5 12 + \log_5 108\).
\(\log_5 12 + \log_5 108 = \log_5 (12 \cdot 108) = \log_5 1296\).
Это точный ответ. Приближенное значение можно найти с помощью калькулятора: \(\log_5 1296 \approx 4.02\).

Ответ (при условии, что в задании опечатка и основание 6): 3
Ответ (при условии, что условие задачи верное): \(\log_5 1296\)

Задание 6

Решите неравенство: \(\frac{x-4x^2}{x-1} > 0\)

Решение:
Сначала приведем числитель к более удобному виду, вынеся \(x\) за скобки:
\(\frac{x(1-4x)}{x-1} > 0\)

Теперь найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя:
\(x(1-4x) = 0\)
\(x = 0\) или \(1-4x = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}\)

Корень знаменателя:
\(x-1 = 0 \implies x = 1\)

Теперь у нас есть три критические точки: \(0\), \(\frac{1}{4}\) и \(1\). Они делят числовую ось на четыре интервала:
\((-\infty, 0)\), \((0, \frac{1}{4})\), \((\frac{1}{4}, 1)\), \((1, \infty)\).

Определим знак выражения \(\frac{x(1-4x)}{x-1}\) на каждом интервале.

1. Интервал \((-\infty, 0)\):
   Возьмем \(x = -1\).
   Числитель: \((-1)(1-4(-1)) = (-1)(1+4) = -5\) (отрицательный)
   Знаменатель: \(-1-1 = -2\) (отрицательный)
   Дробь: \(\frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} > 0\).
   Этот интервал подходит.

2. Интервал \((0, \frac{1}{4})\):
   Возьмем \(x = 0.1\).
   Числитель: \((0.1)(1-4(0.1)) = (0.1)(1-0.4) = (0.1)(0.6) = 0.06\) (положительный)
   Знаменатель: \(0.1-1 = -0.9\) (отрицательный)
   Дробь: \(\frac{0.06}{-0.9} < 0\).
   Этот интервал не подходит.

3. Интервал \((\frac{1}{4}, 1)\):
   Возьмем \(x = 0.5\).
   Числитель: \((0.5)(1-4(0.5)) = (0.5)(1-2) = (0.5)(-1) = -0.5\) (отрицательный)
   Знаменатель: \(0.5-1 = -0.5\) (отрицательный)
   Дробь: \(\frac{-0.5}{-0.5} = 1 > 0\).
   Этот интервал подходит.

4. Интервал \((1, \infty)\):
   Возьмем \(x = 2\).
   Числитель: \((2)(1-4(2)) = (2)(1-8) = (2)(-7) = -14\) (отрицательный)
   Знаменатель: \(2-1 = 1\) (положительный)
   Дробь: \(\frac{-14}{1} < 0\).
   Этот интервал не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((\frac{1}{4}, 1)\).

Ответ: \(x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{4}, 1)\)

Задание 7

Решите показательное уравнение: \(3^{x+2} + 3^x = 810\)

Решение:
Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\):
\(3^x \cdot 3^2 + 3^x = 810\)

Вынесем общий множитель \(3^x\) за скобки:
\(3^x (3^2 + 1) = 810\)
\(3^x (9 + 1) = 810\)
\(3^x \cdot 10 = 810\)

Разделим обе части уравнения на 10:
\(3^x = \frac{810}{10}\)
\(3^x = 81\)

Теперь представим 81 как степень числа 3:
\(81 = 3 \cdot 27 = 3 \cdot 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4\)

Итак, уравнение принимает вид:
\(3^x = 3^4\)

Поскольку основания степеней равны, равны и показатели степеней:
\(x = 4\)

Ответ: \(x = 4\)

Задание 8

Решите логарифмическое уравнение: \(\log_5(1-3x) = 2\)

Решение:
По определению логарифма, если \(\log_b a = c\), то \(b^c = a\).
В нашем случае основание \(b=5\), показатель \(c=2\), а выражение под логарифмом \(a = 1-3x\).

Применяем определение логарифма:
\(5^2 = 1-3x\)
\(25 = 1-3x\)

Теперь решим полученное линейное уравнение.
Перенесем 1 в левую часть:
\(25 - 1 = -3x\)
\(24 = -3x\)

Разделим обе части на -3:
\(x = \frac{24}{-3}\)
\(x = -8\)

Необходимо также проверить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть положительным:
\(1-3x > 0\)
\(1 > 3x\)
\(x < \frac{1}{3}\)

Наше решение \(x = -8\) удовлетворяет условию \(x < \frac{1}{3}\).

Ответ: \(x = -8\)

Задание 9

Решите тригонометрическое уравнение: \(2\cos x - 1 = 0\)

Решение:
Сначала выразим \(\cos x\):
\(2\cos x = 1\)
\(\cos x = \frac{1}{2}\)

Теперь найдем углы \(x\), для которых косинус равен \(\frac{1}{2}\).
Основной угол в первой четверти, косинус которого равен \(\frac{1}{2}\), это \(\frac{\pi}{3}\) (или \(60^\circ\)).

Так как функция косинуса четная (\(\cos(-x) = \cos x\)) и периодическая с периодом \(2\pi\), то решениями уравнения \(\cos x = a\) являются \(x = \pm \arccos a + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число.

В нашем случае \(a = \frac{1}{2}\), \(\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}\).
Следовательно, решения уравнения:
\(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Это можно записать как два семейства решений:
1. \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)
2. \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Задание 10

Найдите значение производной функции: \(f(x) = \frac{6}{5}x^5 - 4x^3 - 2\) при \(x=2\).

Решение:
Сначала найдем производную функции \(f(x)\). Используем правила дифференцирования:
- Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
- Производная константы: \((C)' = 0\)
- Производная произведения константы на функцию: \((C \cdot u)' = C \cdot u'\)

\(f'(x) = \left(\frac{6}{5}x^5 - 4x^3 - 2\right)'\)
\(f'(x) = \frac{6}{5}(x^5)' - (4x^3)' - (2)'\)
\(f'(x) = \frac{6}{5} \cdot 5x^{5-1} - 4 \cdot 3x^{3-1} - 0\)
\(f'(x) = 6x^4 - 12x^2\)

Теперь подставим значение \(x=2\) в выражение для производной:
\(f'(2) = 6(2)^4 - 12(2)^2\)
\(f'(2) = 6 \cdot 16 - 12 \cdot 4\)
\(f'(2) = 96 - 48\)
\(f'(2) = 48\)

Ответ: 48

Задание 11

Найдите первообразную функции: \(f(x) = 8x^7 + 6x^{11} - 6\)

Решение:
Первообразная функции \(F(x)\) находится путем интегрирования. Используем правило интегрирования степенной функции:
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)

Интегрируем каждый член функции \(f(x)\):
\(F(x) = \int (8x^7 + 6x^{11} - 6) dx\)
\(F(x) = \int 8x^7 dx + \int 6x^{11} dx - \int 6 dx\)

Применяем правило интегрирования степенной функции и константы:
\(F(x) = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + 6 \cdot \frac{x^{11+1}}{11+1} - 6x + C\)
\(F(x) = 8 \cdot \frac{x^8}{8} + 6 \cdot \frac{x^{12}}{12} - 6x + C\)

Упрощаем выражение:
\(F(x) = x^8 + \frac{1}{2}x^{12} - 6x + C\)

Здесь \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: \(F(x) = x^8 + \frac{1}{2}x^{12} - 6x + C\)

Задание 12

Вычислите интеграл: \(\int_{-2}^{3} (2x+5) dx\)

Решение:
Сначала найдем первообразную для функции \(f(x) = 2x+5\).
\(F(x) = \int (2x+5) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^2 + 5x + C\)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
\(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)

В нашем случае \(a = -2\) и \(b = 3\).
\(F(3) = (3)^2 + 5(3) = 9 + 15 = 24\)
\(F(-2) = (-2)^2 + 5(-2) = 4 - 10 = -6\)

Теперь вычисляем разность:
\(\int_{-2}^{3} (2x+5) dx = F(3) - F(-2) = 24 - (-6) = 24 + 6 = 30\)

Ответ: 30

Задание 13

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета.

Решение:
При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон получается цилиндр.
В данном случае, прямоугольник имеет катеты 3 см и 4 см. Если вращать вокруг большего катета (4 см), то:
- Высота цилиндра \(h\) будет равна длине большего катета, то есть \(h = 4\) см.
- Радиус основания цилиндра \(r\) будет равен длине меньшего катета, то есть \(r = 3\) см.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований.
Формулы:
- Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2\pi rh\)
- Площадь основания цилиндра: \(S_{осн} = \pi r^2\)
- Площадь полной поверхности цилиндра: \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)\)

Подставляем значения \(r=3\) см и \(h=4\) см:
\(S_{полн} = 2\pi \cdot 3 \cdot (4+3)\)
\(S_{полн} = 6\pi \cdot 7\)
\(S_{полн} = 42\pi\)

Ответ: \(42\pi\) см\(^2\)

Задание 14

Найдите корни уравнения: \(4^x - 3 \cdot 2^x = 4\)

Решение:
Заметим, что \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\).
Сделаем замену переменной. Пусть \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 - 3y = 4\)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(y^2 - 3y - 4 = 0\)

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение корней равно -4.
Корни: \(y_1 = 4\), \(y_2 = -1\).

Теперь вернемся к замене \(y = 2^x\).
1. \(2^x = 4\)
Так как \(4 = 2^2\), то \(2^x = 2^2\).
Следовательно, \(x = 2\).

2. \(2^x = -1\)
   Показательная функция \(2^x\) всегда принимает положительные значения. Поэтому уравнение \(2^x = -1\) не имеет решений.

Таким образом, единственным корнем исходного уравнения является \(x=2\).

Ответ: \(x = 2\)

Задание 15

Найдите корни уравнения: \(\log_7(x^2 - 2x - 8) - 1 = 0\)

Решение:
Сначала преобразуем уравнение:
\(\log_7(x^2 - 2x - 8) = 1\)

По определению логарифма, если \(\log_b a = c\), то \(b^c = a\).
В нашем случае основание \(b=7\), показатель \(c=1\), а выражение под логарифмом \(a = x^2 - 2x - 8\).

Применяем определение логарифма:
\(7^1 = x^2 - 2x - 8\)
\(7 = x^2 - 2x - 8\)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 - 2x - 8 - 7 = 0\)
\(x^2 - 2x - 15 = 0\)

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна 2, произведение корней равно -15.
Корни: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\).

Теперь необходимо проверить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть положительным:
\(x^2 - 2x - 8 > 0\)

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 2x - 8 = 0\).
Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\).
\(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}\)
\(x_1 = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(x_2 = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Парабола \(y = x^2 - 2x - 8\) ветвями вверх, поэтому неравенство \(x^2 - 2x - 8 > 0\) выполняется при \(x < -2\) или \(x > 4\).

Проверим наши найденные корни \(x=5\) и \(x=-3\) на соответствие ОДЗ:
- Для \(x=5\): \(5 > 4\), что удовлетворяет ОДЗ.
- Для \(x=-3\): \(-3 < -2\), что удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня подходят.

Ответ: \(x = 5\), \(x = -3\)

Задание 16

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: \(f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 3\) на отрезке \([2; 3]\).

Решение:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует) внутри данного отрезка.
3. Вычислить значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Шаг 1: Находим производную функции.
\(f'(x) = (2x^3 - 15x^2 + 24x + 3)'\)
\(f'(x) = 6x^2 - 30x + 24\)

Шаг 2: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю:
\(6x^2 - 30x + 24 = 0\)
Разделим на 6:
\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение корней равно 4.
Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\).

Теперь проверяем, попадают ли эти критические точки в заданный отрезок \([2; 3]\).
- \(x_1 = 1\) не принадлежит отрезку \([2; 3]\).
- \(x_2 = 4\) не принадлежит отрезку \([2; 3]\).

Значит, на интервале \((2; 3)\) производная не равна нулю. Поскольку производная является непрерывной функцией, она сохраняет свой знак на этом интервале.

Шаг 3: Вычисляем значения функции на концах отрезка.
Нам нужно вычислить значения функции в точках \(x=2\) и \(x=3\).

При \(x=2\):
\(f(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 24(2) + 3\)
\(f(2) = 2(8) - 15(4) + 48 + 3\)
\(f(2) = 16 - 60 + 48 + 3\)
\(f(2) = 67 - 60 = 7\)

При \(x=3\):
\(f(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 24(3) + 3\)
\(f(3) = 2(27) - 15(9) + 72 + 3\)
\(f(3) = 54 - 135 + 72 + 3\)
\(f(3) = 129 - 135 = -6\)

Шаг 4: Сравниваем полученные значения.
Мы получили значения \(f(2) = 7\) и \(f(3) = -6\).
Наибольшее значение равно 7, наименьшее значение равно -6.

Ответ:
Наибольшее значение функции на отрезке \([2; 3]\) равно 7.
Наименьшее значение функции на отрезке \([2; 3]\) равно -6.