Привет! Сейчас помогу тебе решить эти задания.

Задание 1

Найти $\cos{\alpha}$ и $tg{\alpha}$, если $\sin{\alpha} = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Решение:

1. Определим знак косинуса. Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.

2. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$.

   $\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

   Так как $\cos{\alpha} < 0$ в третьей четверти, то $\cos{\alpha} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

3. Найдем тангенс: $tg{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\cos{\alpha} = -\frac{5}{13}$, $tg{\alpha} = \frac{12}{5}$.

Задание 2

Решите уравнение: $\sqrt{2x^2 + 7x} = 3$.

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{2x^2 + 7x})^2 = 3^2$.

   $2x^2 + 7x = 9$.

2. Перенесем все члены в левую часть: $2x^2 + 7x - 9 = 0$.

3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.

4. Найдем корни:

   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$.

5. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

   • Для $x = 1$: $\sqrt{2(1)^2 + 7(1)} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3$. Подходит.

   • Для $x = -4.5$: $\sqrt{2(-4.5)^2 + 7(-4.5)} = \sqrt{2(20.25) - 31.5} = \sqrt{40.5 - 31.5} = \sqrt{9} = 3$. Подходит.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -4.5$.

Задание 3

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 10%, во второй на 30%. Сколько рублей стал стоить товар после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 900 рублей?

Решение:

1. После первого снижения на 10% цена товара стала: $900 - 900 \cdot 0.1 = 900 - 90 = 810$ рублей.

2. После второго снижения на 30% цена товара стала: $810 - 810 \cdot 0.3 = 810 - 243 = 567$ рублей.

Ответ: 567 рублей.