Решение тригонометрических и алгебраических задач

Привет! Сейчас помогу тебе решить эти задания.

Задание 1

Найти \(\cos{\alpha}\) и \(tg{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = -\frac{12}{13}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).

Решение:

1. Определим знак косинуса. Так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), угол \(\alpha\) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.

2. Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\).

   \(\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\).

   Так как \(\cos{\alpha} < 0\) в третьей четверти, то \(\cos{\alpha} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}\).

3. Найдем тангенс: \(tg{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}\).

Ответ: \(\cos{\alpha} = -\frac{5}{13}\), \(tg{\alpha} = \frac{12}{5}\).

Задание 2

Решите уравнение: \(\sqrt{2x^2 + 7x} = 3\).

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{2x^2 + 7x})^2 = 3^2\).

   \(2x^2 + 7x = 9\).

2. Перенесем все члены в левую часть: \(2x^2 + 7x - 9 = 0\).

3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\).

4. Найдем корни:

   \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\).

   \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5\).

5. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

   • Для \(x = 1\): \(\sqrt{2(1)^2 + 7(1)} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3\). Подходит.

   • Для \(x = -4.5\): \(\sqrt{2(-4.5)^2 + 7(-4.5)} = \sqrt{2(20.25) - 31.5} = \sqrt{40.5 - 31.5} = \sqrt{9} = 3\). Подходит.

Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -4.5\).

Задание 3

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 10%, во второй на 30%. Сколько рублей стал стоить товар после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 900 рублей?

Решение:

1. После первого снижения на 10% цена товара стала: \(900 - 900 \cdot 0.1 = 900 - 90 = 810\) рублей.

2. После второго снижения на 30% цена товара стала: \(810 - 810 \cdot 0.3 = 810 - 243 = 567\) рублей.

Ответ: 567 рублей.