Решение задач по интегралам, дифференциальным уравнениям и площадям фигур

Конечно, с удовольствием помогу с решением задач!

Задание 2: Найти интеграл \(\int (x-2)\sqrt{x} dx\)

Для решения этого интеграла, сначала раскроем скобки:
$ \int (x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}) dx $

Теперь представим \(\sqrt{x}\) как \(x^{1/2}\):
$ \int (x \cdot x^{1/2} - 2x^{1/2}) dx $

Складываем степени при умножении \(x\) на \(x^{1/2}\): \(x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}\).
$ \int (x^{3/2} - 2x^{1/2}) dx $

Теперь можем проинтегрировать каждый член по отдельности, используя правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):

1. Интеграл от \(x^{3/2}\):
   $ \int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2} $

2. Интеграл от \(-2x^{1/2}\):
   $ \int -2x^{1/2} dx = -2 \int x^{1/2} dx = -2 \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = -2 \frac{x^{3/2}}{3/2} = -2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = -\frac{4}{3}x^{3/2} $

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования \(C\):
$ \int (x-2)\sqrt{x} dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{4}{3}x^{3/2} + C $

Задание 3: Решить уравнение

а) \(x dy = \sin^2 y dx\)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Сначала перенесем все члены с \(y\) в одну сторону, а с \(x\) — в другую.
Разделим обе части на \(\sin^2 y\) (предполагая, что \(\sin^2 y \neq 0\)) и на \(dx\) (предполагая, что \(dx \neq 0\)):
$ \frac{dy}{\sin^2 y} = \frac{dx}{x} $

Теперь проинтегрируем обе части:
$ \int \frac{dy}{\sin^2 y} = \int \frac{dx}{x} $

Интеграл от \(\frac{1}{\sin^2 y}\) равен \(-\cot y\):
$ -\cot y $

Интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен \(\ln|x|\):
$ \ln|x| + C $

Таким образом, получаем:
$ -\cot y = \ln|x| + C $

Можно переписать, выразив \(\cot y\):
$ \cot y = -\ln|x| - C $

Поскольку \(C\) — произвольная константа, ее можно заменить на \(-C\) или просто использовать \(C'\), где \(C'\) — новая произвольная константа.
$ \cot y = -\ln|x| + C' $

б) \(y' - \frac{2y}{x} = x^2 e^x\)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(y' + P(x)y = Q(x)\), где \(P(x) = -\frac{2}{x}\) и \(Q(x) = x^2 e^x\).
Для решения таких уравнений используется метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) находится по формуле:
$ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $

Найдем интеграл от \(P(x)\):
$ \int P(x) dx = \int -\frac{2}{x} dx = -2 \int \frac{1}{x} dx = -2 \ln|x| $

Теперь найдем интегрирующий множитель:
$ \mu(x) = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x|^{-2}} = |x|^{-2} = \frac{1}{x^2} $
(Мы можем опустить знак модуля, так как \(x^2\) всегда положителен, и константа интегрирования в показателе степени может быть поглощена в \(Q(x)\)).

Умножим обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель \(\frac{1}{x^2}\):
$ \frac{1}{x^2} y' - \frac{2}{x^3} y = \frac{1}{x^2} (x^2 e^x) $
$ \frac{1}{x^2} y' - \frac{2}{x^3} y = e^x $

Левая часть уравнения теперь является производной произведения \((\mu(x) y)'\):
$ \left(\frac{1}{x^2} y\right)' = e^x $

Проинтегрируем обе части:
$ \int \left(\frac{1}{x^2} y\right)' dx = \int e^x dx $
$ \frac{1}{x^2} y = e^x + C $

Теперь выразим \(y\):
$ y = x^2 (e^x + C) $
$ y = x^2 e^x + Cx^2 $

Задание 4: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Здесь не указаны границы интегрирования (линии), которые ограничивают фигуру. Предполагается, что это линии, заданные в пункте 5. Если это так, то задача состоит в нахождении площади между двумя кривыми: \(y = -x^2 - x + 1\) и \(y = 2x - 10\).

Сначала найдем точки пересечения этих двух кривых, приравняв их:
$ -x^2 - x + 1 = 2x - 10 $

Перенесем все члены в одну сторону:
$ -x^2 - x - 2x + 1 + 10 = 0 $
$ -x^2 - 3x + 11 = 0 $

Умножим на -1 для удобства:
$ x^2 + 3x - 11 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
$ D = 3^2 - 4(1)(-11) = 9 + 44 = 53 $
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{53}}{2} $

Обозначим корни как \(x_1 = \frac{-3 - \sqrt{53}}{2}\) и \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{53}}{2}\).

Площадь фигуры между двумя кривыми \(f(x)\) и \(g(x)\) от \(x_1\) до \(x_2\) вычисляется как:
$ A = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| dx $

В нашем случае, чтобы определить, какая функция больше, подставим какое-нибудь значение между корнями (например, \(x=0\), если он находится между корнями).
При \(x=0\):
$ y_1 = -(0)^2 - 0 + 1 = 1 $
$ y_2 = 2(0) - 10 = -10 $
Здесь \(y_1 > y_2\). Следовательно, функция \(y = -x^2 - x + 1\) находится выше, чем \(y = 2x - 10\) на интервале между корнями.

Значит, разность \(f(x) - g(x)\) будет $ (-x^2 - x + 1) - (2x - 10) = -x^2 - 3x + 11 $.

Площадь будет:
$ A = \int_{\frac{-3 - \sqrt{53}}{2}}^{\frac{-3 + \sqrt{53}}{2}} (-x^2 - 3x + 11) dx $

Вычислим интеграл:
$ \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 11x \right]_{\frac{-3 - \sqrt{53}}{2}}^{\frac{-3 + \sqrt{53}}{2}} $

Это будет довольно громоздкий расчет. Есть формула для площади между параболой и прямой, но если нужно вычислить численно, это потребует подстановки значений.
Если использовать формулу для площади, ограниченной \(ax^2+bx+c=0\), то \(A = \frac{|a|(\Delta)^{3/2}}{6a^2} = \frac{(\Delta)^{3/2}}{6|a|}\) где \(\Delta\) — дискриминант уравнения \(f(x)-g(x)=0\).
В нашем случае, уравнение \(-x^2 - 3x + 11 = 0\) имеет \(a=-1\), \(b=-3\), \(c=11\) и \(D=53\).
$ A = \frac{(53)^{3/2}}{6|-1|} = \frac{53\sqrt{53}}{6} $