Решение системы линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эту задачу.

Задание 1: Проверка совместности и решение системы уравнений

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
3x_1 - x_2 + x_3 = -11 \
5x_1 + x_2 + 2x_3 = 8 \
x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 16
\end{cases}
$$

a) Решение по формулам Крамера

1. Вычисление главного определителя системы:

$
\Delta = \begin{vmatrix}
3 & -1 & 1 \
5 & 1 & 2 \
1 & 2 & 4
\end{vmatrix} = 3(1 \cdot 4 - 2 \cdot 2) - (-1)(5 \cdot 4 - 1 \cdot 2) + 1(5 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 3(4 - 4) + (20 - 2) + (10 - 1) = 0 + 18 + 9 = 27
$

2. Вычисление вспомогательных определителей:

$
\Delta_1 = \begin{vmatrix}
-11 & -1 & 1 \
8 & 1 & 2 \
16 & 2 & 4
\end{vmatrix} = -11(1 \cdot 4 - 2 \cdot 2) - (-1)(8 \cdot 4 - 16 \cdot 2) + 1(8 \cdot 2 - 16 \cdot 1) = -11(0) + (32 - 32) + (16 - 16) = 0 + 0 + 0 = 0
$

$
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
3 & -11 & 1 \
5 & 8 & 2 \
1 & 16 & 4
\end{vmatrix} = 3(8 \cdot 4 - 16 \cdot 2) - (-11)(5 \cdot 4 - 1 \cdot 2) + 1(5 \cdot 16 - 1 \cdot 8) = 3(32 - 32) + 11(20 - 2) + (80 - 8) = 0 + 11(18) + 72 = 0 + 198 + 72 = 270
$

$
\Delta_3 = \begin{vmatrix}
3 & -1 & -11 \
5 & 1 & 8 \
1 & 2 & 16
\end{vmatrix} = 3(1 \cdot 16 - 8 \cdot 2) - (-1)(5 \cdot 16 - 1 \cdot 8) + (-11)(5 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 3(16 - 16) + (80 - 8) - 11(10 - 1) = 0 + 72 - 11(9) = 72 - 99 = -27
$

3. Нахождение решений:

$
x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{0}{27} = 0
$

$
x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{270}{27} = 10
$

$
x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-27}{27} = -1
$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$, $x_3 = -1$

б) Решение с помощью обратной матрицы (матричный метод)

1. Запись системы в матричном виде:

$AX = B$, где
$
A = \begin{pmatrix}
3 & -1 & 1 \
5 & 1 & 2 \
1 & 2 & 4
\end{pmatrix},
X = \begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}
-11 \
8 \
16
\end{pmatrix}
$

2. Нахождение обратной матрицы $A^{-1}$:

• Определитель матрицы $A$ уже найден: $\Delta = 27$
• Находим матрицу алгебраических дополнений:

$
A_{11} = (1 \cdot 4 - 2 \cdot 2) = 0 \
A_{12} = -(5 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = -18 \
A_{13} = (5 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 9 \
A_{21} = -( -1 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = 6 \
A_{22} = (3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = 11 \
A_{23} = -(3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = -7 \
A_{31} = (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = -3 \
A_{32} = -(3 \cdot 2 - 5 \cdot 1) = -1 \
A_{33} = (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 5) = 8
$

• Матрица алгебраических дополнений:

$
\begin{pmatrix}
0 & -18 & 9 \
6 & 11 & -7 \
-3 & -1 & 8
\end{pmatrix}
$

• Транспонированная матрица алгебраических дополнений (присоединенная матрица):

$
\begin{pmatrix}
0 & 6 & -3 \
-18 & 11 & -1 \
9 & -7 & 8
\end{pmatrix}
$

• Обратная матрица:

$
A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix}
0 & 6 & -3 \
-18 & 11 & -1 \
9 & -7 & 8
\end{pmatrix} = \frac{1}{27} \begin{pmatrix}
0 & 6 & -3 \
-18 & 11 & -1 \
9 & -7 & 8
\end{pmatrix}
$

3. Нахождение решения:

$
X = A^{-1}B = \frac{1}{27} \begin{pmatrix}
0 & 6 & -3 \
-18 & 11 & -1 \
9 & -7 & 8
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-11 \
8 \
16
\end{pmatrix} = \frac{1}{27} \begin{pmatrix}
0 \cdot (-11) + 6 \cdot 8 + (-3) \cdot 16 \
-18 \cdot (-11) + 11 \cdot 8 + (-1) \cdot 16 \
9 \cdot (-11) + (-7) \cdot 8 + 8 \cdot 16
\end{pmatrix} = \frac{1}{27} \begin{pmatrix}
0 + 48 - 48 \
198 + 88 - 16 \
-99 - 56 + 128
\end{pmatrix} = \frac{1}{27} \begin{pmatrix}
0 \
270 \
-27
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \
10 \
-1
\end{pmatrix}
$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$, $x_3 = -1$

в) Решение методом Гаусса

1. Запись расширенной матрицы системы:

$
\begin{pmatrix}
3 & -1 & 1 & | & -11 \
5 & 1 & 2 & | & 8 \
1 & 2 & 4 & | & 16
\end{pmatrix}
$

2. Приведение матрицы к ступенчатому виду:

• Поменяем местами первую и третью строки:

$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 16 \
5 & 1 & 2 & | & 8 \
3 & -1 & 1 & | & -11
\end{pmatrix}
$

• Вычтем из второй строки первую, умноженную на 5, а из третьей - первую, умноженную на 3:

$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 16 \
0 & -9 & -18 & | & -72 \
0 & -7 & -11 & | & -59
\end{pmatrix}
$

• Разделим вторую строку на -9:

$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 16 \
0 & 1 & 2 & | & 8 \
0 & -7 & -11 & | & -59
\end{pmatrix}
$

• Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 7:

$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 16 \
0 & 1 & 2 & | & 8 \
0 & 0 & 3 & | & -3
\end{pmatrix}
$

• Разделим третью строку на 3:

$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 16 \
0 & 1 & 2 & | & 8 \
0 & 0 & 1 & | & -1
\end{pmatrix}
$

3. Обратный ход метода Гаусса:

• Выразим переменные из уравнений:

$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 16 \
x_2 + 2x_3 = 8 \
x_3 = -1
\end{cases}
$

• Подставим $x_3 = -1$ во второе уравнение:

$
x_2 + 2(-1) = 8 \
x_2 - 2 = 8 \
x_2 = 10
$

• Подставим $x_2 = 10$ и $x_3 = -1$ в первое уравнение:

$
x_1 + 2(10) + 4(-1) = 16 \
x_1 + 20 - 4 = 16 \
x_1 + 16 = 16 \
x_1 = 0
$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$, $x_3 = -1$

Все три метода дали одинаковый результат. Система совместна и имеет единственное решение: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$, $x_3 = -1$.