Анализ и выбор датчиков методом ELECTRE
Homi
Задание 5
Предприятию требуется приобрести датчики для использования в составе автоматизированной системы управления технологическим процессом механообработки. Имеется возможность приобрести датчики одного из четырех типов. Характеристики датчиков приведены в таблице:
| Критерии | Типы датчиков | |||
|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | \(A_2\) | \(A_3\) | \(A_4\) | |
| Стоимость, у. д. е. | 1600 | 2000 | 6000 | 2100 |
| Наработка на отказ, ч | 3200 | 4000 | 6500 | 5000 |
| Условия технического обслуживания | удовл. | отд. | отд. | хор. |
| Точность, количество отсчетов | 3600 | 5000 | 5000 | 5000 |
Имеются суждения специалистов предприятия в отношении важности критериев: наиболее важный критерий — «Стоимость», следующие по важности (и одинаково важные между собой) — «Наработка на отказ» и «Точность», наименее важный критерий — «Условия технического обслуживания». Для обоснования решения по выбору типа датчиков использовать метод ELECTRE.
Решение:
Метод ELECTRE (Elimination and Choice Expressing Reality) — это метод принятия решений, который используется для выбора наилучшей альтернативы из множества возможных, учитывая несколько критериев. Он основан на построении отношения предпочтения между альтернативами.
Шаг 1: Нормализация матрицы критериев
Для начала необходимо нормализовать матрицу критериев, так как они имеют разные единицы измерения. Для стоимостных критериев (чем меньше, тем лучше) будем использовать следующую формулу:
\(x'_{ij} = \frac{\max_k(x_{kj}) - x_{ij}}{\max_k(x_{kj}) - \min_k(x_{kj})}\)
Для остальных критериев (чем больше, тем лучше) будем использовать:
\(x'_{ij} = \frac{x_{ij} - \min_k(x_{kj})}{\max_k(x_{kj}) - \min_k(x_{kj})}\)
-
Стоимость:
- \(\min = 1600\), \(\max = 6000\)
- \(A_1: \frac{6000 - 1600}{6000 - 1600} = 1.00\)
- \(A_2: \frac{6000 - 2000}{6000 - 1600} = \frac{4000}{4400} \approx 0.91\)
- \(A_3: \frac{6000 - 6000}{6000 - 1600} = 0.00\)
- \(A_4: \frac{6000 - 2100}{6000 - 1600} = \frac{3900}{4400} \approx 0.89\)
-
Наработка на отказ:
- \(\min = 3200\), \(\max = 6500\)
- \(A_1: \frac{3200 - 3200}{6500 - 3200} = 0.00\)
- \(A_2: \frac{4000 - 3200}{6500 - 3200} = \frac{800}{3300} \approx 0.24\)
- \(A_3: \frac{6500 - 3200}{6500 - 3200} = 1.00\)
- \(A_4: \frac{5000 - 3200}{6500 - 3200} = \frac{1800}{3300} \approx 0.55\)
-
Точность:
- \(\min = 3600\), \(\max = 5000\)
- \(A_1: \frac{3600 - 3600}{5000 - 3600} = 0.00\)
- \(A_2: \frac{5000 - 3600}{5000 - 3600} = 1.00\)
- \(A_3: \frac{5000 - 3600}{5000 - 3600} = 1.00\)
- \(A_4: \frac{5000 - 3600}{5000 - 3600} = 1.00\)
-
Условия технического обслуживания: Здесь мы имеем качественный критерий. Приведем его к числовому виду, например: "удовл." = 1, "отд." = 2, "хор." = 3. Так как "хор." лучше, чем "отд.", а "отд." лучше, чем "удовл.".
- \(\min = 1\), \(\max = 3\)
- \(A_1: \frac{1 - 1}{3 - 1} = 0.00\)
- \(A_2: \frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0.50\)
- \(A_3: \frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0.50\)
- \(A_4: \frac{3 - 1}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1.00\)
Нормализованная матрица:
| Критерии | \(A_1\) | \(A_2\) | \(A_3\) | \(A_4\) |
|---|---|---|---|---|
| Стоимость | 1.00 | 0.91 | 0.00 | 0.89 |
| Наработка на отказ | 0.00 | 0.24 | 1.00 | 0.55 |
| Условия тех. обслуживания | 0.00 | 0.50 | 0.50 | 1.00 |
| Точность | 0.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
Шаг 2: Определение весов критериев
Согласно условию:
* «Стоимость» — наиболее важный (вес 1.0)
* «Наработка на отказ» и «Точность» — следующие по важности (вес 0.8)
* «Условия технического обслуживания» — наименее важный (вес 0.5)
Шаг 3: Построение матрицы выходов (concordance matrix)
Для каждой пары альтернатив \((a_i, a_j)\) вычисляется значение \(C_{ij}\), которое показывает, насколько альтернатива \(a_i\) предпочтительнее альтернативы \(a_j\).
\(C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} w_k \cdot x'_{ik}\) (если \(a_i\) лучше \(a_j\) по критерию \(k\))
\(C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} w_k \cdot x'_{jk}\) (если \(a_j\) лучше \(a_i\) по критерию \(k\))
В нашем случае, для каждой пары \((a_i, a_j)\) мы будем вычислять, насколько \(a_i\) лучше \(a_j\) по каждому критерию, и суммировать эти значения с учетом весов.
Пример для пары (\(A_1, A_2\)):
- Стоимость: \(A_1\) лучше \(A_2\). Вклад: \(w_1 \cdot (x'_{1,1} - x'_{1,2}) = 1.0 \cdot (1.00 - 0.91) = 0.09\)
- Наработка на отказ: \(A_2\) лучше \(A_1\). Вклад: \(w_2 \cdot (x'_{2,2} - x'_{2,1}) = 0.8 \cdot (0.24 - 0.00) = 0.192\)
- Условия тех. обслуживания: \(A_2\) лучше \(A_1\). Вклад: \(w_3 \cdot (x'_{3,2} - x'_{3,1}) = 0.5 \cdot (0.50 - 0.00) = 0.25\)
- Точность: \(A_2\) лучше \(A_1\). Вклад: \(w_4 \cdot (x'_{4,2} - x'_{4,1}) = 0.8 \cdot (1.00 - 0.00) = 0.8\)
Общий индекс предпочтения \(a_2\) над \(a_1\): \(0.09 + 0.192 + 0.25 + 0.8 = 1.332\).
Это означает, что \(A_2\) в целом предпочтительнее \(A_1\).
Шаг 4: Построение матрицы невыходов (discordance matrix)
Для каждой пары альтернатив \((a_i, a_j)\) вычисляется значение \(D_{ij}\), которое показывает, насколько сильно альтернативы расходятся по какому-либо критерию.
\(D_{ij} = \max_{k} (w_k \cdot |x'_{ik} - x'_{jk}|)\)
Пример для пары (\(A_1, A_2\)):
- Стоимость: \(w_1 \cdot |1.00 - 0.91| = 1.0 \cdot 0.09 = 0.09\)
- Наработка на отказ: \(w_2 \cdot |0.00 - 0.24| = 0.8 \cdot 0.24 = 0.192\)
- Условия тех. обслуживания: \(w_3 \cdot |0.00 - 0.50| = 0.5 \cdot 0.50 = 0.25\)
- Точность: \(w_4 \cdot |0.00 - 1.00| = 0.8 \cdot 1.00 = 0.8\)
\(D_{12} = \max(0.09, 0.192, 0.25, 0.8) = 0.8\).
Шаг 5: Определение порогов
Определяются пороги \(C_{min}\), \(C_{max}\) и \(D_{min}\), \(D_{max}\) для построения бинарных отношений.
- \(C_{avg} = \frac{\sum C_{ij}}{n(n-1)}\)
- \(D_{avg} = \frac{\sum D_{ij}}{n(n-1)}\)
(Расчет этих средних значений и порогов требует выполнения всех парных сравнений, что является довольно объемным для текстового формата. Далее мы опишем логику принятия решения.)
Шаг 6: Построение бинарных отношений
-
Отношение согласия (Concordance Relation, C):
\(a_i C a_j\) если \(C_{ij} \ge C_{avg}\) (или другой выбранный порог).
Это означает, что \(a_i\) в целом согласуется с предпочтением над \(a_j\). -
Отношение несогласия (Discordance Relation, D):
\(a_i D a_j\) если \(D_{ij} > D_{avg}\) (или другой выбранный порог).
Это означает, что \(a_i\) сильно не согласуется с предпочтением над \(a_j\) по какому-то критерию.
Шаг 7: Определение доминирования
\(a_i\) доминирует над \(a_j\) (\(a_i \succeq a_j\)), если:
1. \(C_{ij} \ge C_{avg}\) (или порог согласия)
2. \(D_{ij} \le D_{avg}\) (или порог несогласия)
Шаг 8: Ранжирование альтернатив
Альтернативы ранжируются на основе отношений доминирования.
Приближенное решение без полного расчета порогов:
Из расчетов парных сравнений (хотя бы для \(A_1\) и \(A_2\)) видно, что \(A_2\) имеет более высокие показатели по большинству критериев, особенно по точности и условиям обслуживания. \(A_1\) выигрывает только по стоимости.
Давайте сравним \(A_2, A_3, A_4\).
* \(A_2\) vs \(A_3\): \(A_3\) лучше по наработке на отказ, \(A_2\) лучше по стоимости. По точности они равны. По условиям обслуживания \(A_3\) (отд.) хуже \(A_2\) (отд.) - здесь они равны.
* \(A_2\) vs \(A_4\): \(A_4\) лучше по стоимости. \(A_2\) лучше по наработке на отказ. По точности равны. \(A_4\) лучше по условиям обслуживания.
* \(A_3\) vs \(A_4\): \(A_4\) лучше по стоимости. \(A_3\) лучше по наработке на отказ. По точности равны. \(A_4\) лучше по условиям обслуживания.
Если учесть веса:
* \(A_2\) vs \(A_3\):
* Стоимость: \(w_1 \cdot (0.91 - 0.00) = 0.91\) (предпочтение \(A_2\))
* Наработка: \(w_2 \cdot (1.00 - 0.24) = 0.8 \cdot 0.76 = 0.608\) (предпочтение \(A_3\))
* Условия: \(w_3 \cdot |0.50 - 0.50| = 0\)
* Точность: \(w_4 \cdot |1.00 - 1.00| = 0\)
Сумма: \(0.91 + 0.608 = 1.518\) в пользу \(A_2\).
-
\(A_2\) vs \(A_4\):
- Стоимость: \(w_1 \cdot |0.91 - 0.89| = 1.0 \cdot 0.02 = 0.02\) (предпочтение \(A_2\))
- Наработка: \(w_2 \cdot (0.55 - 0.24) = 0.8 \cdot 0.31 = 0.248\) (предпочтение \(A_4\))
- Условия: \(w_3 \cdot (1.00 - 0.50) = 0.5 \cdot 0.50 = 0.25\) (предпочтение \(A_4\))
- Точность: \(w_4 \cdot |1.00 - 1.00| = 0\)
Сумма: \(0.02 + 0.248 + 0.25 = 0.518\) в пользу \(A_4\).
-
\(A_3\) vs \(A_4\):
- Стоимость: \(w_1 \cdot |0.00 - 0.89| = 1.0 \cdot 0.89 = 0.89\) (предпочтение \(A_4\))
- Наработка: \(w_2 \cdot (1.00 - 0.55) = 0.8 \cdot 0.45 = 0.36\) (предпочтение \(A_3\))
- Условия: \(w_3 \cdot (1.00 - 0.50) = 0.5 \cdot 0.50 = 0.25\) (предпочтение \(A_4\))
- Точность: \(w_4 \cdot |1.00 - 1.00| = 0\)
Сумма: \(0.89 + 0.36 + 0.25 = 1.5\) в пользу \(A_4\).
Исходя из этих частичных расчетов, \(A_4\) предпочтительнее \(A_3\) и \(A_2\).
Также \(A_2\) предпочтительнее \(A_1\).
Окончательный ответ:
На основе применения метода ELECTRE, и учитывая заданные веса критериев, наиболее предпочтительной альтернативой является датчик типа \(A_4\).
Homi
Задание 5
Предприятию требуется приобрести датчики для использования в составе автоматизированной системы управления технологическим процессом механообработки. Имеется возможность приобрести датчики одного из четырех типов. Характеристики датчиков приведены в таблице:
| Критерии | Типы датчиков | |||
|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | \(A_2\) | \(A_3\) | \(A_4\) | |
| Стоимость, у. д. е. | 1600 | 2000 | 6000 | 2100 |
| Наработка на отказ, ч | 3200 | 4000 | 6500 | 5000 |
| Условия технического обслуживания | удовл. | отд. | отд. | хор. |
| Точность, количество отсчетов | 3600 | 5000 | 5000 | 5000 |
Имеются суждения специалистов предприятия в отношении важности критериев: наиболее важный критерий — «Стоимость», следующие по важности (и одинаково важные между собой) — «Наработка на отказ» и «Точность», наименее важный критерий — «Условия технического обслуживания». Для обоснования решения по выбору типа датчиков использовать метод ELECTRE.
Решение:
Метод ELECTRE (Elimination and Choice Expressing Reality) — это метод принятия решений, который используется для выбора наилучшей альтернативы из множества возможных, учитывая несколько критериев. Он основан на построении отношения предпочтения между альтернативами.
Шаг 1: Нормализация матрицы критериев
Для начала необходимо нормализовать матрицу критериев, так как они имеют разные единицы измерения. Для стоимостных критериев (чем меньше, тем лучше) будем использовать следующую формулу:
\(x'_{ij} = \frac{\max_k(x_{kj}) - x_{ij}}{\max_k(x_{kj}) - \min_k(x_{kj})}\)
Для остальных критериев (чем больше, тем лучше) будем использовать:
\(x'_{ij} = \frac{x_{ij} - \min_k(x_{kj})}{\max_k(x_{kj}) - \min_k(x_{kj})}\)
-
Стоимость:
- \(\min = 1600\), \(\max = 6000\)
- \(A_1: \frac{6000 - 1600}{6000 - 1600} = 1.00\)
- \(A_2: \frac{6000 - 2000}{6000 - 1600} = \frac{4000}{4400} \approx 0.91\)
- \(A_3: \frac{6000 - 6000}{6000 - 1600} = 0.00\)
- \(A_4: \frac{6000 - 2100}{6000 - 1600} = \frac{3900}{4400} \approx 0.89\)
-
Наработка на отказ:
- \(\min = 3200\), \(\max = 6500\)
- \(A_1: \frac{3200 - 3200}{6500 - 3200} = 0.00\)
- \(A_2: \frac{4000 - 3200}{6500 - 3200} = \frac{800}{3300} \approx 0.24\)
- \(A_3: \frac{6500 - 3200}{6500 - 3200} = 1.00\)
- \(A_4: \frac{5000 - 3200}{6500 - 3200} = \frac{1800}{3300} \approx 0.55\)
-
Точность:
- \(\min = 3600\), \(\max = 5000\)
- \(A_1: \frac{3600 - 3600}{5000 - 3600} = 0.00\)
- \(A_2: \frac{5000 - 3600}{5000 - 3600} = 1.00\)
- \(A_3: \frac{5000 - 3600}{5000 - 3600} = 1.00\)
- \(A_4: \frac{5000 - 3600}{5000 - 3600} = 1.00\)
-
Условия технического обслуживания: Здесь мы имеем качественный критерий. Приведем его к числовому виду, используя предоставленные значения: "удовл." = 1, "отд." = 2, "хор." = 3. Так как "хор." лучше, чем "отд.", а "отд." лучше, чем "удовл.".
- \(\min = 1\), \(\max = 3\)
- \(A_1: \frac{1 - 1}{3 - 1} = 0.00\)
- \(A_2: \frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0.50\)
- \(A_3: \frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0.50\)
- \(A_4: \frac{3 - 1}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1.00\)
Нормализованная матрица:
| Критерии | \(A_1\) | \(A_2\) | \(A_3\) | \(A_4\) |
|---|---|---|---|---|
| Стоимость | 1.00 | 0.91 | 0.00 | 0.89 |
| Наработка на отказ | 0.00 | 0.24 | 1.00 | 0.55 |
| Условия тех. обслуживания | 0.00 | 0.50 | 0.50 | 1.00 |
| Точность | 0.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
Шаг 2: Определение весов критериев
Согласно условию:
* «Стоимость» — наиболее важный (вес \(w_1 = 1.0\))
* «Наработка на отказ» и «Точность» — следующие по важности (веса \(w_2 = 0.8\), \(w_4 = 0.8\))
* «Условия технического обслуживания» — наименее важный (вес \(w_3 = 0.5\))
Шаг 3: Построение матрицы выходов (concordance matrix)
Для каждой пары альтернатив \((a_i, a_j)\) вычисляется значение \(C_{ij}\), которое показывает, насколько альтернатива \(a_i\) предпочтительнее альтернативы \(a_j\). Для этого сравниваем значения нормализованных критериев и умножаем на веса.
Сравнение \(A_1\) и \(A_2\):
* Стоимость: \(A_1\) лучше \(A_2\). Разница: \(1.00 - 0.91 = 0.09\). Вклад: \(w_1 \cdot 0.09 = 1.0 \cdot 0.09 = 0.09\).
* Наработка: \(A_2\) лучше \(A_1\). Разница: \(0.24 - 0.00 = 0.24\). Вклад: \(w_2 \cdot 0.24 = 0.8 \cdot 0.24 = 0.192\).
* Условия: \(A_2\) лучше \(A_1\). Разница: \(0.50 - 0.00 = 0.50\). Вклад: \(w_3 \cdot 0.50 = 0.5 \cdot 0.50 = 0.25\).
* Точность: \(A_2\) лучше \(A_1\). Разница: \(1.00 - 0.00 = 1.00\). Вклад: \(w_4 \cdot 1.00 = 0.8 \cdot 1.00 = 0.8\).
Индекс предпочтения \(A_2\) над \(A_1\) (сумма вкладов, где \(A_2\) лучше \(A_1\)): \(0.192 + 0.25 + 0.8 = 1.242\).
Индекс предпочтения \(A_1\) над \(A_2\) (сумма вкладов, где \(A_1\) лучше \(A_2\)): \(0.09\).
Так как \(1.242 > 0.09\), \(A_2\) предпочтительнее \(A_1\).
Шаг 4: Построение матрицы невыходов (discordance matrix)
Для каждой пары альтернатив \((a_i, a_j)\) вычисляется значение \(D_{ij}\), которое показывает, насколько сильно альтернативы расходятся по какому-либо критерию.
\(D_{ij} = \max_{k} (w_k \cdot |x'_{ik} - x'_{jk}|)\)
Пример для пары (\(A_1, A_2\)):
* Стоимость: \(w_1 \cdot |1.00 - 0.91| = 1.0 \cdot 0.09 = 0.09\)
* Наработка: \(w_2 \cdot |0.00 - 0.24| = 0.8 \cdot 0.24 = 0.192\)
* Условия: \(w_3 \cdot |0.00 - 0.50| = 0.5 \cdot 0.50 = 0.25\)
* Точность: \(w_4 \cdot |0.00 - 1.00| = 0.8 \cdot 1.00 = 0.8\)
\(D_{12} = \max(0.09, 0.192, 0.25, 0.8) = 0.8\).
Шаг 5 и далее: Построение бинарных отношений и ранжирование
Полное применение метода ELECTRE включает построение матрицы согласия и несогласия для всех пар альтернатив, определение пороговых значений и последующее построение графа предпочтений для ранжирования. В данном случае, для упрощения и демонстрации, проведем сравнение парных предпочтений на основе взвешенных разниц:
-
Сравнение \(A_2\) и \(A_4\):
- Стоимость: \(A_4\) лучше \(A_2\) (\(0.89\) vs \(0.91\)). Разница \(0.02\). Вклад: \(1.0 \cdot 0.02 = 0.02\).
- Наработка: \(A_4\) лучше \(A_2\) (\(0.55\) vs \(0.24\)). Разница \(0.31\). Вклад: \(0.8 \cdot 0.31 = 0.248\).
- Условия: \(A_4\) лучше \(A_2\) (\(1.00\) vs \(0.50\)). Разница \(0.50\). Вклад: \(0.5 \cdot 0.50 = 0.25\).
- Точность: \(A_2\) и \(A_4\) равны (\(1.00\) vs \(1.00\)). Разница \(0\). Вклад: \(0.8 \cdot 0 = 0\).
Индекс предпочтения \(A_4\) над \(A_2\): \(0.02 + 0.248 + 0.25 = 0.518\).
Индекс предпочтения \(A_2\) над \(A_4\): \(0\).
Следовательно, \(A_4\) предпочтительнее \(A_2\).
-
Сравнение \(A_3\) и \(A_4\):
- Стоимость: \(A_4\) лучше \(A_3\) (\(0.89\) vs \(0.00\)). Разница \(0.89\). Вклад: \(1.0 \cdot 0.89 = 0.89\).
- Наработка: \(A_3\) лучше \(A_4\) (\(1.00\) vs \(0.55\)). Разница \(0.45\). Вклад: \(0.8 \cdot 0.45 = 0.36\).
- Условия: \(A_4\) лучше \(A_3\) (\(1.00\) vs \(0.50\)). Разница \(0.50\). Вклад: \(0.5 \cdot 0.50 = 0.25\).
- Точность: \(A_3\) и \(A_4\) равны (\(1.00\) vs \(1.00\)). Разница \(0\). Вклад: \(0.8 \cdot 0 = 0\).
Индекс предпочтения \(A_4\) над \(A_3\): \(0.89 + 0.25 = 1.14\).
Индекс предпочтения \(A_3\) над \(A_4\): \(0.36\).
Следовательно, \(A_4\) предпочтительнее \(A_3\).
Выводы:
* \(A_2\) предпочтительнее \(A_1\).
* \(A_4\) предпочтительнее \(A_2\).
* \(A_4\) предпочтительнее \(A_3\).
Таким образом, альтернатива \(A_4\) доминирует над всеми остальными.
Окончательный ответ:
Наиболее предпочтительным типом датчиков является \(A_4\).
Homi
