Решение задач по геометрии с векторами: Нахождение углов и скалярных произведений

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим задачи по порядку.

Задание 4

Найти угол между векторами \(\vec{AB} - \vec{CB}\) и \(\vec{AB}\).

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\):

   • \(\vec{AB} = B - A = (0-1, 1-0, 3-(-1)) = (-1, 1, 4)\)
   • \(\vec{CB} = B - C = (0-2, 1-0, 3-1) = (-2, 1, 2)\)

2. Найдем вектор \(\vec{AB} - \vec{CB}\):

   • \(\vec{AB} - \vec{CB} = (-1 - (-2), 1 - 1, 4 - 2) = (1, 0, 2)\)

3. Найдем косинус угла между векторами \(\vec{AB} - \vec{CB}\) и \(\vec{AB}\):

   • \(\cos{\alpha} = \frac{(\vec{AB} - \vec{CB}) \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB} - \vec{CB}| \cdot |\vec{AB}|}\)
   • \((\vec{AB} - \vec{CB}) \cdot \vec{AB} = (1 \cdot (-1)) + (0 \cdot 1) + (2 \cdot 4) = -1 + 0 + 8 = 7\)
   • \(|\vec{AB} - \vec{CB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
   • \(|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
   • \(\cos{\alpha} = \frac{7}{\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{7}{3\sqrt{10}}\)

4. Найдем угол \(\alpha\):

   • \(\alpha = \arccos{\frac{7}{3\sqrt{10}}}\)

Ответ: \(\arccos{\frac{7}{3\sqrt{10}}}\)

Задание 5

Найти скалярное произведение \((\vec{AB}, \vec{BC})\).

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\):

   • \(\vec{AB} = B - A = (0-1, 1-0, 3-(-1)) = (-1, 1, 4)\)
   • \(\vec{BC} = C - B = (2-0, 0-1, 1-3) = (2, -1, -2)\)

2. Найдем скалярное произведение:

   • \((\vec{AB}, \vec{BC}) = (-1 \cdot 2) + (1 \cdot (-1)) + (4 \cdot (-2)) = -2 - 1 - 8 = -11\)

Ответ: -11

Задание 6

Найти скалярное произведение \(((\vec{AB} + 4\vec{BC}), (\vec{BA} - \vec{AC}))\).

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{AC}\):

   • \(\vec{AB} = B - A = (0-1, 1-0, 3-(-1)) = (-1, 1, 4)\)
   • \(\vec{BC} = C - B = (2-0, 0-1, 1-3) = (2, -1, -2)\)
   • \(\vec{BA} = A - B = (1-0, 0-1, -1-3) = (1, -1, -4)\)
   • \(\vec{AC} = C - A = (2-1, 0-0, 1-(-1)) = (1, 0, 2)\)

2. Найдем векторы \(\vec{AB} + 4\vec{BC}\) и \(\vec{BA} - \vec{AC}\):

   • \(\vec{AB} + 4\vec{BC} = (-1 + 4\cdot2, 1 + 4\cdot(-1), 4 + 4\cdot(-2)) = (-1+8, 1-4, 4-8) = (7, -3, -4)\)
   • \(\vec{BA} - \vec{AC} = (1-1, -1-0, -4-2) = (0, -1, -6)\)

3. Найдем скалярное произведение:

   • \(((\vec{AB} + 4\vec{BC}), (\vec{BA} - \vec{AC})) = (7 \cdot 0) + (-3 \cdot (-1)) + (-4 \cdot (-6)) = 0 + 3 + 24 = 27\)

Ответ: 27