Выражение векторов через заданные векторы в параллелограмме

Язык задания: Russian

Задание 2

В параллелограмме ABCD на стороне AB взята точка N - середина AB. \(\vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{b} = \vec{AD}\). Выразите векторы \(\vec{CA}\), \(\vec{ND}\), \(\vec{DB}\), \(\vec{NC}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Решение:

1. Выразим вектор \(\vec{CA}\):

   \(\vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{AB} + \vec{BC}) = -(\vec{AB} + \vec{AD}) = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}\)

2. Выразим вектор \(\vec{ND}\):

   \(\vec{ND} = \vec{NA} + \vec{AD} = -\vec{AN} + \vec{AD}\)

   Так как N - середина AB, то \(\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}\).

   \(\vec{ND} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\)

3. Выразим вектор \(\vec{DB}\):

   \(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{AD} + \vec{AB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}\)

4. Выразим вектор \(\vec{NC}\):

   \(\vec{NC} = \vec{NA} + \vec{AC} = -\vec{AN} + \vec{AB} + \vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{a} + \vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\)

Ответ:

• \(\vec{CA} = -\vec{a} - \vec{b}\)
• \(\vec{ND} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\)
• \(\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\)