Квадратные корни: вычисление, упрощение и действия с выражениями

Задание 1

Цель: Найти значения выражений, связанных с квадратными корнями.

(1) 13の平方根

• Объяснение: Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Число 13 имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный.
• Решение: Квадратные корни из 13 равны \(\sqrt{13}\) и \(-\sqrt{13}\).
• Ответ: \(\pm\sqrt{13}\)

(2) 9の平方根

• Объяснение: Аналогично предыдущему пункту, ищем число, квадрат которого равен 9.
• Решение: \(3^2 = 9\) и \((-3)^2 = 9\).
• Ответ: \(\pm 3\)

(3) \(\sqrt{16}\)

• Объяснение: Найти значение квадратного корня из 16. Это положительное число, квадрат которого равен 16.
• Решение: \(4^2 = 16\).
• Ответ: 4

(4) \(-\sqrt{49}\)

• Объяснение: Найти значение отрицательного квадратного корня из 49.
• Решение: \(\sqrt{49} = 7\), следовательно, \(-\sqrt{49} = -7\).
• Ответ: -7

(5) \(\sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}\)

• Объяснение: Вычислить значение квадратного корня из дроби, используя свойство \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
• Решение: \(\sqrt{36} = 6\). Следовательно, \(\sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{6}\).
• Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{6}\)

Задание 2

Цель: Представить числа в виде \(a\sqrt{b}\), где \(a\) и \(b\) — целые числа, а \(b\) — наименьшее возможное положительное целое число.

(1) \(\sqrt{12}\)

• Объяснение: Разложить число под корнем на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.
• Решение: \(12 = 4 \times 3\). Тогда \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).
• Ответ: \(2\sqrt{3}\)

(2) \(\sqrt{48}\)

• Объяснение: Аналогично предыдущему пункту, ищем наибольший полный квадрат, являющийся делителем 48.
• Решение: \(48 = 16 \times 3\). Тогда \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
• Ответ: \(4\sqrt{3}\)

(3) \(\sqrt{75}\)

• Объяснение: Разложить 75 на множители, один из которых — полный квадрат.
• Решение: \(75 = 25 \times 3\). Тогда \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
• Ответ: \(5\sqrt{3}\)

(4) \(\sqrt{300}\)

• Объяснение: Разложить 300 на множители, один из которых — полный квадрат.
• Решение: \(300 = 100 \times 3\). Тогда \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\).
• Ответ: \(10\sqrt{3}\)

Задание 3

Цель: Вычислить значения выражений, содержащих квадратные корни.

(1) \(\sqrt{3} \times \sqrt{5}\)

• Объяснение: Использовать свойство \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\).
• Решение: \(\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}\).
• Ответ: \(\sqrt{15}\)

(2) \(\sqrt{24} + \sqrt{6}\)

• Объяснение: Сначала упростить \(\sqrt{24}\) до вида \(a\sqrt{b}\), а затем сложить с \(\sqrt{6}\).
• Решение: \(\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}\).
  Тогда \(\sqrt{24} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6} + \sqrt{6} = (2+1)\sqrt{6} = 3\sqrt{6}\).
• Ответ: \(3\sqrt{6}\)

(3) \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\)

• Объяснение: Сложить подобные радикалы (выражения с одинаковым корнем).
• Решение: \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\).
• Ответ: \(8\sqrt{2}\)

(4) \(\sqrt{96} - \sqrt{24} = \sqrt{16 \times 6} - \sqrt{4 \times 6} = 4\sqrt{6} - 2\sqrt{6}\)

• Объяснение: Упростить оба радикала, а затем вычесть подобные.
• Решение: \(\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}\).
  \(\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}\).
  Следовательно, \(\sqrt{96} - \sqrt{24} = 4\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = (4-2)\sqrt{6} = 2\sqrt{6}\).
• Ответ: \(2\sqrt{6}\)

(5) \(\sqrt{32} - 3\sqrt{2} + \sqrt{8}\)

• Объяснение: Упростить все радикалы до вида \(a\sqrt{b}\), а затем выполнить сложение и вычитание.
• Решение:
  \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\).
  \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\).
  Тогда выражение становится: \(4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (4 - 3 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
• Ответ: \(3\sqrt{2}\)

(6) \(\sqrt{3}(\sqrt{5} + \sqrt{7})\)

• Объяснение: Применить распределительное свойство умножения: \(a(b+c) = ab + ac\).
• Решение: \(\sqrt{3}(\sqrt{5} + \sqrt{7}) = \sqrt{3} \times \sqrt{5} + \sqrt{3} \times \sqrt{7} = \sqrt{15} + \sqrt{21}\).
• Ответ: \(\sqrt{15} + \sqrt{21}\)

(7) \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\)

• Объяснение: Использовать формулу квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
• Решение: \((\sqrt{2})^2 = 2\).
  \(2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{6}\).
  \((\sqrt{3})^2 = 3\).
  Следовательно, \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}\).
• Ответ: \(5 + 2\sqrt{6}\)

(8) \((\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2\)

• Объяснение: Использовать формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
• Решение: \((\sqrt{10})^2 = 10\).
  \((\sqrt{2})^2 = 2\).
  Следовательно, \((\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = 10 - 2 = 8\).
• Ответ: 8