Решение задач на дроби и проценты

Привет! Сейчас помогу решить эти задания.

Задание 1

а) Найдите значение выражения: \(88 \frac{13}{88} - (0,2 + \frac{31}{45} + 2 \frac{5}{6})\)

1. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: \(0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)
2. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: \(2 \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}\)
3. Сложим дроби в скобках: \(\frac{1}{5} + \frac{31}{45} + \frac{17}{6}\). Приведем к общему знаменателю 90:
   \(\frac{18}{90} + \frac{62}{90} + \frac{255}{90} = \frac{18 + 62 + 255}{90} = \frac{335}{90} = \frac{67}{18}\)
4. Выполним вычитание: \(88 \frac{13}{88} - \frac{67}{18}\). Представим \(88 \frac{13}{88}\) как неправильную дробь: \(88 \frac{13}{88} = \frac{88 \cdot 88 + 13}{88} = \frac{7757}{88}\)
5. Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{7757}{88} - \frac{67}{18} = \frac{7757 \cdot 9}{88 \cdot 9} - \frac{67 \cdot 44}{18 \cdot 44} = \frac{69813}{792} - \frac{2948}{792} = \frac{69813 - 2948}{792} = \frac{66865}{792}\)
6. Выделим целую часть: \(\frac{66865}{792} = 84 \frac{337}{792}\)

Ответ: \(84 \frac{337}{792}\)

Задание 2

а) Разделите число 480 в отношении 3:4:5

1. Найдем сумму отношений: \(3 + 4 + 5 = 12\)
2. Найдем значение одной части: \(480 : 12 = 40\)
3. Найдем каждую часть:
   • \(3 \cdot 40 = 120\)
   • \(4 \cdot 40 = 160\)
   • \(5 \cdot 40 = 200\)

Ответ: 120, 160, 200

Задание 3

а) В классе 30 учеников. 40% из них занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?

1. Чтобы найти, сколько учеников занимаются спортом, нужно найти 40% от 30.
2. Переведем проценты в десятичную дробь: \(40\% = 0,4\)
3. Найдем количество учеников: \(30 \cdot 0,4 = 12\)

Ответ: 12 учеников

Ассистент: Конечно, вот альтернативное решение задачи 3 и сравнение методов.

Задание 3 (альтернативное решение)

а) В классе 30 учеников. 40% из них занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?

1. Представим 40% в виде обыкновенной дроби: \(40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}\)
2. Найдем количество учеников, занимающихся спортом, как \(\frac{2}{5}\) от 30:
   \(\frac{2}{5} \cdot 30 = \frac{2 \cdot 30}{5} = \frac{60}{5} = 12\)

Ответ: 12 учеников

Сравнение методов:

• Метод 1 (через десятичную дробь): Преобразуем проценты в десятичную дробь и умножаем на общее количество.
• Метод 2 (через обыкновенную дробь): Преобразуем проценты в обыкновенную дробь и умножаем на общее количество.

Оба метода приводят к одинаковому результату. Выбор метода зависит от личных предпочтений и удобства вычислений. В данном случае, оба метода достаточно просты и эффективны.

Ассистент: Конечно, продолжим решать оставшиеся задания.

Задание 1 (б)

б) Найдите значение выражения: \(2 \frac{20}{51} : (93,5 : 11)\)

1. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: \(2 \frac{20}{51} = \frac{2 \cdot 51 + 20}{51} = \frac{102 + 20}{51} = \frac{122}{51}\)
2. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: \(93,5 = \frac{935}{10} = \frac{187}{2}\)
3. Выполним деление в скобках: \(\frac{187}{2} : 11 = \frac{187}{2} \cdot \frac{1}{11} = \frac{187}{22} = \frac{17}{2}\)
4. Выполним деление: \(\frac{122}{51} : \frac{17}{2} = \frac{122}{51} \cdot \frac{2}{17} = \frac{122 \cdot 2}{51 \cdot 17} = \frac{244}{867} = \frac{4}{17} \cdot \frac{61}{51}\)

Ответ: \(\frac{244}{867}\)

Задание 2 (б)

б) Разделите число 525 в отношении 5:7:9

1. Найдем сумму отношений: \(5 + 7 + 9 = 21\)
2. Найдем значение одной части: \(525 : 21 = 25\)
3. Найдем каждую часть:
   • \(5 \cdot 25 = 125\)
   • \(7 \cdot 25 = 175\)
   • \(9 \cdot 25 = 225\)

Ответ: 125, 175, 225

Задание 3 (б)

б) Масса сушёных грибов составляет 14% массы свежих. Сколько нужно взять свежих грибов, чтобы получить 2,8 кг сушёных?

1. Пусть \(x\) - масса свежих грибов.
2. Тогда \(14\%\) от \(x\) составляет 2,8 кг.
3. Запишем уравнение: \(0,14x = 2,8\)
4. Решим уравнение: \(x = \frac{2,8}{0,14} = \frac{280}{14} = 20\)

Ответ: 20 кг

Ассистент: Конечно! Продолжаем решать оставшиеся задания.

Задание 1 (б)

б) Найдите значение выражения: \(6 \frac{2}{51} : (93,5 : 11)\)

1. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: \(6 \frac{2}{51} = \frac{6 \cdot 51 + 2}{51} = \frac{306 + 2}{51} = \frac{308}{51}\)
2. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: \(93,5 = \frac{935}{10} = \frac{187}{2}\)
3. Выполним деление в скобках: \(\frac{187}{2} : 11 = \frac{187}{2} \cdot \frac{1}{11} = \frac{187}{22} = \frac{17}{2}\)
4. Выполним деление: \(\frac{308}{51} : \frac{17}{2} = \frac{308}{51} \cdot \frac{2}{17} = \frac{308 \cdot 2}{51 \cdot 17} = \frac{616}{867} = \frac{4 \cdot 154}{51 \cdot 17} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 11}{3 \cdot 17 \cdot 17} = \frac{8}{3}\)

Ответ: \(\frac{8}{3}\) или \(2 \frac{2}{3}\)

Задание 2 (б)

б) Разделите число 525 в отношении 5:7:9

1. Найдем сумму отношений: \(5 + 7 + 9 = 21\)
2. Найдем значение одной части: \(525 : 21 = 25\)
3. Найдем каждую часть:
   • \(5 \cdot 25 = 125\)
   • \(7 \cdot 25 = 175\)
   • \(9 \cdot 25 = 225\)

Ответ: 125, 175, 225

Задание 3 (б)

б) Масса сушёных грибов составляет 14% массы свежих. Сколько нужно взять свежих грибов, чтобы получить 2,8 кг сушёных?

1. Пусть \(x\) - масса свежих грибов.
2. Тогда \(14\%\) от \(x\) составляет 2,8 кг.
3. Запишем уравнение: \(0,14x = 2,8\)
4. Решим уравнение: \(x = \frac{2,8}{0,14} = \frac{280}{14} = 20\)

Ответ: 20 кг