Задание 1

Нахождение обратных дробей:

Обратная дробь для данной дроби получается путем замены числителя и знаменателя местами.

а) Для дроби $\frac{8}{13}$ обратная дробь будет $\frac{13}{8}$.
б) Для дроби $\frac{7}{1}$ (или просто 7) обратная дробь будет $\frac{1}{7}$.

Задание 2

Решение задачи:

1. Определим, какая часть конфет осталась:
   Если было $\frac{2}{5}$ части конфет, а потом забрали еще $\frac{3}{5}$ части, то остаток составляет:
   $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$
   Этот результат показывает, что изначально конфет было меньше, чем забрали, что логически неверно в контексте задачи. Вероятно, в условии подразумевалось, что забрали $\frac{3}{5}$ от оставшихся конфет, или же числа были другими.

   Предположим, что в задаче имелось в виду, что забрали $\frac{3}{5}$ от изначального количества конфет.
   Тогда:
   Если было забрано $\frac{3}{5}$ части конфет, то остаток составляет $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ части.

2. Найдем первоначальное количество:
   Из условия задачи мы знаем, что осталась $\frac{2}{5}$ части конфет, и это составляет 9 конфет.
   Если $\frac{2}{5}$ части — это 9 конфет, то $\frac{1}{5}$ часть составляет:
   $9 \div 2 = 4.5$ конфеты.
   Тогда первоначальное количество конфет (целая часть, или $\frac{5}{5}$) было:
   $4.5 \times 5 = 22.5$ конфеты.

   Примечание: Получилось нецелое число конфет, что может указывать на некорректность исходных данных задачи или их интерпретации.

   Если предположить, что в задаче было сказано "2/5 части конфет, а потом забрали еще 9 конфет, и в ней осталось 3/5 конфет", то решение будет другим.

   Давайте переформулируем задачу, чтобы получить логичный ответ:
   "Когда из коробки забрали $\frac{3}{5}$ части конфет, в ней осталось 9 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?"

   Решение с новой формулировкой:
   * Если забрали $\frac{3}{5}$ части, то осталось: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ части.
   * Известно, что $\frac{2}{5}$ части составляют 9 конфет.
   * Найдем, сколько конфет составляет $\frac{1}{5}$ часть: $9 \div 2 = 4.5$ конфеты.
   * Найдем первоначальное количество конфет ($\frac{5}{5}$): $4.5 \times 5 = 22.5$ конфеты.

   Рассмотрим еще одну возможную интерпретацию:
   "Когда из коробки забрали $\frac{2}{5}$ части конфет, в ней осталось 9 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?"
   * Если забрали $\frac{2}{5}$ части, то осталось: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ части.
   * Известно, что $\frac{3}{5}$ части составляют 9 конфет.
   * Найдем, сколько конфет составляет $\frac{1}{5}$ часть: $9 \div 3 = 3$ конфеты.
   * Найдем первоначальное количество конфет ($\frac{5}{5}$): $3 \times 5 = 15$ конфет.

   Ответ (для последней интерпретации): Первоначально в коробке было 15 конфет.

Задание 3

Решение уравнения:

Дано уравнение:
$\frac{8}{9}x + \frac{2}{3}x = 18$

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для 9 и 3 — это 9.
   $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$
   Уравнение примет вид:
   $\frac{8}{9}x + \frac{6}{9}x = 18$

2. Сложим дроби при одинаковых знаменателях:
   $(\frac{8}{9} + \frac{6}{9})x = 18$
   $\frac{14}{9}x = 18$

3. Найдем $x$:
   Чтобы найти $x$, нужно разделить 18 на $\frac{14}{9}$:
   $x = 18 \div \frac{14}{9}$
   $x = 18 \times \frac{9}{14}$

4. Упростим и вычислим:
   $x = \frac{18 \times 9}{14}$
   Можно сократить 18 и 14 на 2:
   $x = \frac{9 \times 9}{7}$
   $x = \frac{81}{7}$

Ответ: $x = \frac{81}{7}$ (или $11\frac{4}{7}$)

Задание 4

Порядок действий и вычисление значения выражения:

Выражение: $6\frac{3}{4} : 3 + \frac{27}{40} \cdot \left( (\frac{6}{7} - \frac{3}{12}) \cdot 2\frac{1}{2} - 4\frac{1}{3} \cdot \frac{13}{20} \right) - 1\frac{1}{4}$

Порядок действий:

1. Действия в скобках (сначала вычитание, затем умножение, потом еще одно умножение).
2. Деление и умножение (слева направо).
3. Сложение и вычитание (слева направо).

Вычисления:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

   • $6\frac{3}{4} = \frac{6 \times 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$
   • $2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
   • $4\frac{1}{3} = \frac{4 \times 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$
   • $1\frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

   Выражение теперь выглядит так:
   $\frac{27}{4} : 3 + \frac{27}{40} \cdot \left( (\frac{6}{7} - \frac{3}{12}) \cdot \frac{5}{2} - \frac{13}{3} \cdot \frac{13}{20} \right) - \frac{5}{4}$

2. Упростим дробь в скобках:
   $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
   Выражение в скобках: $(\frac{6}{7} - \frac{1}{4})$
   Общий знаменатель: 28
   $\frac{6}{7} - \frac{1}{4} = \frac{6 \times 4}{7 \times 4} - \frac{1 \times 7}{4 \times 7} = \frac{24}{28} - \frac{7}{28} = \frac{17}{28}$

3. Продолжим вычисления в скобках:

   • $(\frac{17}{28}) \cdot \frac{5}{2} = \frac{17 \times 5}{28 \times 2} = \frac{85}{56}$
   • $\frac{13}{3} \cdot \frac{13}{20} = \frac{13 \times 13}{3 \times 20} = \frac{169}{60}$

   Теперь внутри скобок: $\frac{85}{56} - \frac{169}{60}$
   Найдем общий знаменатель для 56 и 60.
   $56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$
   $60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
   НОК(56, 60) = $2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 8 \times 3 \times 5 \times 7 = 24 \times 35 = 840$

   $\frac{85}{56} = \frac{85 \times 15}{56 \times 15} = \frac{1275}{840}$
   $\frac{169}{60} = \frac{169 \times 14}{60 \times 14} = \frac{2366}{840}$

   $\frac{1275}{840} - \frac{2366}{840} = \frac{1275 - 2366}{840} = \frac{-1091}{840}$

4. Вернемся к основному выражению:
   $\frac{27}{4} : 3 + \frac{27}{40} \cdot (\frac{-1091}{840}) - \frac{5}{4}$

5. Выполним деление и умножение:

   • $\frac{27}{4} : 3 = \frac{27}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$
   • $\frac{27}{40} \cdot (\frac{-1091}{840})$
     Сократим 27 и 840 на 3: $27 \div 3 = 9$, $840 \div 3 = 280$.
     $\frac{9}{40} \cdot (\frac{-1091}{280}) = \frac{9 \times (-1091)}{40 \times 280} = \frac{-9819}{11200}$

6. Подставим результаты обратно:
   $\frac{9}{4} + (\frac{-9819}{11200}) - \frac{5}{4}$

7. Выполним сложение и вычитание:
   Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем:
   $\frac{9}{4} - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

   Теперь: $1 + \frac{-9819}{11200} = 1 - \frac{9819}{11200}$
   $1 = \frac{11200}{11200}$
   $\frac{11200}{11200} - \frac{9819}{11200} = \frac{11200 - 9819}{11200} = \frac{1381}{11200}$

Ответ: $\frac{1381}{11200}$