Решение задач по теме Обыкновенные дроби и Порядок действий

Задание 1

Нахождение обратных дробей:

Обратная дробь для данной дроби получается путем замены числителя и знаменателя местами.

а) Для дроби \(\frac{8}{13}\) обратная дробь будет \(\frac{13}{8}\).
б) Для дроби \(\frac{7}{1}\) (или просто 7) обратная дробь будет \(\frac{1}{7}\).

Задание 2

Решение задачи:

1. Определим, какая часть конфет осталась:
   Если было \(\frac{2}{5}\) части конфет, а потом забрали еще \(\frac{3}{5}\) части, то остаток составляет:
   \(\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}\)
   Этот результат показывает, что изначально конфет было меньше, чем забрали, что логически неверно в контексте задачи. Вероятно, в условии подразумевалось, что забрали \(\frac{3}{5}\) от оставшихся конфет, или же числа были другими.

   Предположим, что в задаче имелось в виду, что забрали \(\frac{3}{5}\) от изначального количества конфет.
   Тогда:
   Если было забрано \(\frac{3}{5}\) части конфет, то остаток составляет \(1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\) части.

2. Найдем первоначальное количество:
   Из условия задачи мы знаем, что осталась \(\frac{2}{5}\) части конфет, и это составляет 9 конфет.
   Если \(\frac{2}{5}\) части — это 9 конфет, то \(\frac{1}{5}\) часть составляет:
   \(9 \div 2 = 4.5\) конфеты.
   Тогда первоначальное количество конфет (целая часть, или \(\frac{5}{5}\)) было:
   \(4.5 \times 5 = 22.5\) конфеты.

   Примечание: Получилось нецелое число конфет, что может указывать на некорректность исходных данных задачи или их интерпретации.

   Если предположить, что в задаче было сказано "2/5 части конфет, а потом забрали еще 9 конфет, и в ней осталось 3/5 конфет", то решение будет другим.

   Давайте переформулируем задачу, чтобы получить логичный ответ:
   "Когда из коробки забрали \(\frac{3}{5}\) части конфет, в ней осталось 9 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?"

   Решение с новой формулировкой:
   * Если забрали \(\frac{3}{5}\) части, то осталось: \(1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\) части.
   * Известно, что \(\frac{2}{5}\) части составляют 9 конфет.
   * Найдем, сколько конфет составляет \(\frac{1}{5}\) часть: \(9 \div 2 = 4.5\) конфеты.
   * Найдем первоначальное количество конфет (\(\frac{5}{5}\)): \(4.5 \times 5 = 22.5\) конфеты.

   Рассмотрим еще одну возможную интерпретацию:
   "Когда из коробки забрали \(\frac{2}{5}\) части конфет, в ней осталось 9 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?"
   * Если забрали \(\frac{2}{5}\) части, то осталось: \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) части.
   * Известно, что \(\frac{3}{5}\) части составляют 9 конфет.
   * Найдем, сколько конфет составляет \(\frac{1}{5}\) часть: \(9 \div 3 = 3\) конфеты.
   * Найдем первоначальное количество конфет (\(\frac{5}{5}\)): \(3 \times 5 = 15\) конфет.

   Ответ (для последней интерпретации): Первоначально в коробке было 15 конфет.

Задание 3

Решение уравнения:

Дано уравнение:
\(\frac{8}{9}x + \frac{2}{3}x = 18\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для 9 и 3 — это 9.
   \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}\)
   Уравнение примет вид:
   \(\frac{8}{9}x + \frac{6}{9}x = 18\)

2. Сложим дроби при одинаковых знаменателях:
   \((\frac{8}{9} + \frac{6}{9})x = 18\)
   \(\frac{14}{9}x = 18\)

3. Найдем \(x\):
   Чтобы найти \(x\), нужно разделить 18 на \(\frac{14}{9}\):
   \(x = 18 \div \frac{14}{9}\)
   \(x = 18 \times \frac{9}{14}\)

4. Упростим и вычислим:
   \(x = \frac{18 \times 9}{14}\)
   Можно сократить 18 и 14 на 2:
   \(x = \frac{9 \times 9}{7}\)
   \(x = \frac{81}{7}\)

Ответ: \(x = \frac{81}{7}\) (или \(11\frac{4}{7}\))

Задание 4

Порядок действий и вычисление значения выражения:

Выражение: \(6\frac{3}{4} : 3 + \frac{27}{40} \cdot \left( (\frac{6}{7} - \frac{3}{12}) \cdot 2\frac{1}{2} - 4\frac{1}{3} \cdot \frac{13}{20} \right) - 1\frac{1}{4}\)

Порядок действий:

1. Действия в скобках (сначала вычитание, затем умножение, потом еще одно умножение).
2. Деление и умножение (слева направо).
3. Сложение и вычитание (слева направо).

Вычисления:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

   • \(6\frac{3}{4} = \frac{6 \times 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}\)
   • \(2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}\)
   • \(4\frac{1}{3} = \frac{4 \times 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}\)
   • \(1\frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}\)

   Выражение теперь выглядит так:
   \(\frac{27}{4} : 3 + \frac{27}{40} \cdot \left( (\frac{6}{7} - \frac{3}{12}) \cdot \frac{5}{2} - \frac{13}{3} \cdot \frac{13}{20} \right) - \frac{5}{4}\)

2. Упростим дробь в скобках:
   \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
   Выражение в скобках: \((\frac{6}{7} - \frac{1}{4})\)
   Общий знаменатель: 28
   \(\frac{6}{7} - \frac{1}{4} = \frac{6 \times 4}{7 \times 4} - \frac{1 \times 7}{4 \times 7} = \frac{24}{28} - \frac{7}{28} = \frac{17}{28}\)

3. Продолжим вычисления в скобках:

   • \((\frac{17}{28}) \cdot \frac{5}{2} = \frac{17 \times 5}{28 \times 2} = \frac{85}{56}\)
   • \(\frac{13}{3} \cdot \frac{13}{20} = \frac{13 \times 13}{3 \times 20} = \frac{169}{60}\)

   Теперь внутри скобок: \(\frac{85}{56} - \frac{169}{60}\)
   Найдем общий знаменатель для 56 и 60.
   \(56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7\)
   \(60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\)
   НОК(56, 60) = \(2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 8 \times 3 \times 5 \times 7 = 24 \times 35 = 840\)

   \(\frac{85}{56} = \frac{85 \times 15}{56 \times 15} = \frac{1275}{840}\)
   \(\frac{169}{60} = \frac{169 \times 14}{60 \times 14} = \frac{2366}{840}\)

   \(\frac{1275}{840} - \frac{2366}{840} = \frac{1275 - 2366}{840} = \frac{-1091}{840}\)

4. Вернемся к основному выражению:
   \(\frac{27}{4} : 3 + \frac{27}{40} \cdot (\frac{-1091}{840}) - \frac{5}{4}\)

5. Выполним деление и умножение:

   • \(\frac{27}{4} : 3 = \frac{27}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\)
   • \(\frac{27}{40} \cdot (\frac{-1091}{840})\)
     Сократим 27 и 840 на 3: \(27 \div 3 = 9\), \(840 \div 3 = 280\).
     \(\frac{9}{40} \cdot (\frac{-1091}{280}) = \frac{9 \times (-1091)}{40 \times 280} = \frac{-9819}{11200}\)

6. Подставим результаты обратно:
   \(\frac{9}{4} + (\frac{-9819}{11200}) - \frac{5}{4}\)

7. Выполним сложение и вычитание:
   Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем:
   \(\frac{9}{4} - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

   Теперь: \(1 + \frac{-9819}{11200} = 1 - \frac{9819}{11200}\)
   \(1 = \frac{11200}{11200}\)
   \(\frac{11200}{11200} - \frac{9819}{11200} = \frac{11200 - 9819}{11200} = \frac{1381}{11200}\)

Ответ: \(\frac{1381}{11200}\)