Решение задач по геометрии: косинус, тангенс, синус

Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить задания по геометрии.

Задание A1

Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Необходимо найти косинус меньшего острого угла и тангенс большего острого угла этого треугольника.

1. Определение сторон:

   • Гипотенуза (самая длинная сторона): 5 см
   • Катеты: 3 см и 4 см

2. Определение углов:

   • Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета (3 см).
   • Больший острый угол лежит напротив большего катета (4 см).

3. Косинус меньшего острого угла:

   • Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
   • Для меньшего угла прилежащий катет равен 4 см.
   • \(\cos(\alpha) = \frac{4}{5} = 0.8\)

4. Тангенс большего острого угла:

   • Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
   • Для большего угла противолежащий катет равен 4 см, прилежащий равен 3 см.
   • \(\tan(\beta) = \frac{4}{3} \approx 1.33\)

Ответ: Косинус меньшего острого угла равен 0.8, тангенс большего острого угла равен \(\frac{4}{3}\).

Задание A2

Необходимо найти \(\sin(\alpha)\), если \(\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

1. Основное тригонометрическое тождество:

   • \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

2. Выражение для \(\sin^2(\alpha)\):

   • \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\)

3. Подстановка значения \(\cos(\alpha)\):

   • \(\sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

4. Нахождение \(\sin(\alpha)\):

   • \(\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\) (т.к. рассматриваем острый угол, синус положительный)

Ответ: \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\)

Задание A3

Необходимо найти \(\tan(\alpha)\), если \(\sin(\alpha) = \frac{24}{25}\).

1. Основное тригонометрическое тождество:

   • \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

2. Выражение для \(\cos^2(\alpha)\):

   • \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\)

3. Подстановка значения \(\sin(\alpha)\):

   • \(\cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}\)

4. Нахождение \(\cos(\alpha)\):

   • \(\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}\) (т.к. рассматриваем острый угол, косинус положительный)

5. Тангенс угла:

   • \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}\)

Ответ: \(\tan(\alpha) = \frac{24}{7}\)