Задание 1

Условие: Туристы решили прокатиться на катере по Амазонке. Катер с туристами прошёл от одной пристани до другой, сделал стоянку на 30 мин и вернулся обратно. Весь путь занял $9 \frac{1}{2}$ часа. Расстояние между пристанями равно 48 км. Найди скорость течения, если известно, что скорость катера в стоячей воде 12 км/ч.

Решение:

1. Определим общее время в пути без учета стоянки:
   Общее время в пути = 9.5 часа.
   Время стоянки = 30 минут = 0.5 часа.
   Время движения катера = Общее время - Время стоянки = 9.5 ч - 0.5 ч = 9 часов.

2. Определим расстояние, пройденное катером:
   Расстояние от одной пристани до другой = 48 км.
   Катер прошел туда и обратно, значит общее пройденное расстояние = 48 км * 2 = 96 км.

3. Определим скорость катера по течению и против течения:
   Пусть $v_{теч}$ - скорость течения реки (то, что нам нужно найти).
   Пусть $v_{катера}$ - скорость катера в стоячей воде, которая равна 12 км/ч.

   Скорость катера по течению (когда он плывет вниз по реке) = $v_{катера} + v_{теч} = 12 + v_{теч}$.
   Скорость катера против течения (когда он плывет вверх по реке) = $v_{катера} - v_{теч} = 12 - v_{теч}$.

4. Составим уравнение, используя формулу: время = расстояние / скорость.
   Время в пути туда (по течению) + Время в пути обратно (против течения) = Время движения катера (9 часов).

   $\frac{48}{12 + v_{теч}} + \frac{48}{12 - v_{теч}} = 9$

5. Решим полученное уравнение:
   Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
   $\frac{16}{12 + v_{теч}} + \frac{16}{12 - v_{теч}} = 3$

   Приведем дроби к общему знаменателю $(12 + v_{теч})(12 - v_{теч})$:
   $16(12 - v_{теч}) + 16(12 + v_{теч}) = 3(12 + v_{теч})(12 - v_{теч})$

   Раскроем скобки:
   $192 - 16v_{теч} + 192 + 16v_{теч} = 3(144 - v_{теч}^2)$

   Упростим:
   $384 = 3(144 - v_{теч}^2)$

   Разделим обе части на 3:
   $128 = 144 - v_{теч}^2$

   Выразим $v_{теч}^2$:
   $v_{теч}^2 = 144 - 128$
   $v_{теч}^2 = 16$

   Найдем $v_{теч}$ (скорость течения может быть только положительной):
   $v_{теч} = \sqrt{16}$
   $v_{теч} = 4$ км/ч.

Ответ: 4 км/ч.