Решение задачи на движение по воде: скорость течения реки
Задание 1
Условие: Туристы решили прокатиться на катере по Амазонке. Катер с туристами прошёл от одной пристани до другой, сделал стоянку на 30 мин и вернулся обратно. Весь путь занял \(9 \frac{1}{2}\) часа. Расстояние между пристанями равно 48 км. Найди скорость течения, если известно, что скорость катера в стоячей воде 12 км/ч.
Решение:
-
Определим общее время в пути без учета стоянки:
Общее время в пути = 9.5 часа.
Время стоянки = 30 минут = 0.5 часа.
Время движения катера = Общее время - Время стоянки = 9.5 ч - 0.5 ч = 9 часов. -
Определим расстояние, пройденное катером:
Расстояние от одной пристани до другой = 48 км.
Катер прошел туда и обратно, значит общее пройденное расстояние = 48 км * 2 = 96 км. -
Определим скорость катера по течению и против течения:
Пусть \(v_{теч}\) - скорость течения реки (то, что нам нужно найти).
Пусть \(v_{катера}\) - скорость катера в стоячей воде, которая равна 12 км/ч.Скорость катера по течению (когда он плывет вниз по реке) = \(v_{катера} + v_{теч} = 12 + v_{теч}\).
Скорость катера против течения (когда он плывет вверх по реке) = \(v_{катера} - v_{теч} = 12 - v_{теч}\). -
Составим уравнение, используя формулу: время = расстояние / скорость.
Время в пути туда (по течению) + Время в пути обратно (против течения) = Время движения катера (9 часов).\(\frac{48}{12 + v_{теч}} + \frac{48}{12 - v_{теч}} = 9\)
-
Решим полученное уравнение:
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
\(\frac{16}{12 + v_{теч}} + \frac{16}{12 - v_{теч}} = 3\)Приведем дроби к общему знаменателю \((12 + v_{теч})(12 - v_{теч})\):
\(16(12 - v_{теч}) + 16(12 + v_{теч}) = 3(12 + v_{теч})(12 - v_{теч})\)Раскроем скобки:
\(192 - 16v_{теч} + 192 + 16v_{теч} = 3(144 - v_{теч}^2)\)Упростим:
\(384 = 3(144 - v_{теч}^2)\)Разделим обе части на 3:
\(128 = 144 - v_{теч}^2\)Выразим \(v_{теч}^2\):
\(v_{теч}^2 = 144 - 128\)
\(v_{теч}^2 = 16\)Найдем \(v_{теч}\) (скорость течения может быть только положительной):
\(v_{теч} = \sqrt{16}\)
\(v_{теч} = 4\) км/ч.
Ответ: 4 км/ч.
