Решение задачи про пирамиду из кирпичей

Задание 1

Условие задачи

Построена пирамида из 15 кирпичей. На кирпичах указаны числа. Число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которых он опирается.

На рисунке даны следующие числа:
* Второй ряд снизу: 3, 2
* Третий ряд снизу: 17
* Четвертый ряд снизу: 1977

Требуется найти

1. Сумму чисел на кирпичах второго ряда снизу.
2. Сумму чисел на кирпичах нижнего ряда.

Решение

Обозначим кирпичи буквами, начиная с нижнего ряда слева направо.
Пусть нижний ряд состоит из кирпичей \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\).
Второй ряд снизу: \(b_1, b_2, b_3, b_4\).
Третий ряд снизу: \(c_1, c_2, c_3\).
Четвертый ряд снизу: \(d_1, d_2\).
Пятый ряд снизу (вершина): \(e_1\).

По условию задачи:
\(b_1 = a_1 + a_2\)
\(b_2 = a_2 + a_3\)
\(b_3 = a_3 + a_4\)
\(b_4 = a_4 + a_5\)

\(c_1 = b_1 + b_2 = (a_1 + a_2) + (a_2 + a_3) = a_1 + 2a_2 + a_3\)
\(c_2 = b_2 + b_3 = (a_2 + a_3) + (a_3 + a_4) = a_2 + 2a_3 + a_4\)
\(c_3 = b_3 + b_4 = (a_3 + a_4) + (a_4 + a_5) = a_3 + 2a_4 + a_5\)

\(d_1 = c_1 + c_2 = (a_1 + 2a_2 + a_3) + (a_2 + 2a_3 + a_4) = a_1 + 3a_2 + 3a_3 + a_4\)
\(d_2 = c_2 + c_3 = (a_2 + 2a_3 + a_4) + (a_3 + 2a_4 + a_5) = a_2 + 3a_3 + 3a_4 + a_5\)

\(e_1 = d_1 + d_2 = (a_1 + 3a_2 + 3a_3 + a_4) + (a_2 + 3a_3 + 3a_4 + a_5) = a_1 + 4a_2 + 6a_3 + 4a_4 + a_5\)

Из рисунка нам известны следующие значения:
\(b_1 = 3\), \(b_2 = 2\)
\(c_1 = 17\)
\(d_1 = 1977\)

1. Найдем сумму чисел на кирпичах второго ряда снизу.
Это \(b_1 + b_2 + b_3 + b_4\).
Нам известны \(b_1=3\) и \(b_2=2\).
Мы знаем, что \(c_1 = b_1 + b_2\). Это условие выполняется: \(17 = 3 + 2\) - НЕТ, \(17 \neq 5\).
Значит, в условии задачи есть неточность или рисунок не соответствует условию.
Давайте предположим, что числа 3 и 2 относятся к кирпичам второго ряда снизу, а 17 и 1977 - к кирпичам третьего и четвертого рядов соответственно.

Пересмотрим обозначения:
Пусть второй ряд снизу: \(b_1, b_2, b_3, b_4\).
Третий ряд снизу: \(c_1, c_2, c_3\).
Четвертый ряд снизу: \(d_1, d_2\).

Из рисунка:
\(b_1=3\), \(b_2=2\).
\(c_1 = 17\).
\(d_1 = 1977\).

По условию:
\(c_1 = b_1 + b_2\)
\(c_2 = b_2 + b_3\)
\(c_3 = b_3 + b_4\)

\(d_1 = c_1 + c_2\)
\(d_2 = c_2 + c_3\)

\(e_1 = d_1 + d_2\)

Проверим первое условие: \(c_1 = b_1 + b_2\).
\(17 = 3 + 2 = 5\). Это неверно.

Важно: Если число на кирпиче равно сумме чисел на двух нижних кирпичах, то числа 3 и 2 должны быть на одном ряду, а 17 - на ряду выше, опирающимся на них.
Исходя из рисунка, кирпичи с числами 3 и 2 находятся на одном ряду (втором снизу). Кирпич с числом 17 находится над ними (третий снизу).
Следовательно, \(17\) должен быть суммой чисел на двух кирпичах под ним.
Но на рисунке кирпичи с числами 3 и 2 находятся рядом. Это означает, что:
\(b_1 = 3\)
\(b_2 = 2\)
\(c_1\) (кирпич над \(b_1\) и \(b_2\)) \(= b_1 + b_2 = 3 + 2 = 5\).
Однако на рисунке указано, что \(c_1 = 17\).

Предположим, что на рисунке числа 3 и 2 находятся на разных кирпичах, но на одном ряду, и 17 - на кирпиче, который опирается на них.
Тогда:
\(b_1 = ?\)
\(b_2 = ?\)
\(b_3 = ?\)
\(b_4 = ?\)

\(c_1 = b_1 + b_2 = 17\)
\(c_2 = b_2 + b_3 = ?\)
\(c_3 = b_3 + b_4 = ?\)

\(d_1 = c_1 + c_2 = 1977\)

Если предположить, что 3 и 2 - это два из чисел второго ряда снизу, а 17 - число из третьего ряда, то:
Пусть \(b_1=3\) и \(b_2=2\). Тогда \(c_1 = 3+2 = 5\). Но указано \(c_1=17\).
Это противоречие.

Перечитаем условие: "На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается."

Давайте предположим, что на рисунке указаны не все числа, а только некоторые, и мы должны их восстановить.
Из рисунка мы видим:
Ряд 4 (снизу): \(d_1 = 1977\)
Ряд 3: \(c_1 = 17\)
Ряд 2: \(b_1 = 3\), \(b_2 = 2\)

По правилу:
\(c_1 = b_1 + b_2\)
\(17 = 3 + 2 = 5\) - это противоречие.

Возможная интерпретация: На рисунке показана структура пирамиды, а числа 3, 17, 1977 - это числа на некоторых кирпичах, которые нам даны для решения.
Пусть \(x_{i,j}\) - число на кирпиче в \(i\)-м ряду (считая снизу, \(i=1\) - нижний ряд) и \(j\)-й позиции (считая слева, \(j=1\) - первый кирпич в ряду).
Пирамида имеет 5 рядов.
Ряд 1: \(x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, x_{1,4}, x_{1,5}\) (5 кирпичей)
Ряд 2: \(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, x_{2,4}\) (4 кирпича)
Ряд 3: \(x_{3,1}, x_{3,2}, x_{3,3}\) (3 кирпича)
Ряд 4: \(x_{4,1}, x_{4,2}\) (2 кирпича)
Ряд 5: \(x_{5,1}\) (1 кирпич)

По условию: \(x_{i,j} = x_{i-1, j} + x_{i-1, j+1}\) для \(i > 1\).

Нам даны:
\(x_{2,1} = 3\)
\(x_{2,2} = 2\)
\(x_{3,1} = 17\)
\(x_{4,1} = 1977\)

Проверим условие \(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2}\):
\(17 = 3 + 2 = 5\). Это неверно.

Единственная возможная интерпретация, которая не противоречит условию: Числа 3 и 2 - это два числа из второго ряда снизу, но не обязательно соседние. И 17 - это число из третьего ряда.
Пусть:
\(x_{2,j_1} = 3\)
\(x_{2,j_2} = 2\)
\(x_{3,k} = 17\)
\(x_{4,1} = 1977\)

Если \(x_{3,1} = 17\), то \(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2}\).
Если \(x_{2,1} = 3\) и \(x_{2,2} = 2\), то \(x_{3,1} = 5\), что не равно 17.

Давайте предположим, что числа 3 и 2 на рисунке относятся к двум кирпичам из второго ряда снизу, и 17 - к одному кирпичу из третьего ряда. И 1977 - к одному из четвертого ряда.
Пусть:
\(x_{2,1} = a\)
\(x_{2,2} = b\)
\(x_{2,3} = c\)
\(x_{2,4} = d\)

\(x_{3,1} = a+b\)
\(x_{3,2} = b+c\)
\(x_{3,3} = c+d\)

\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = (a+b) + (b+c) = a + 2b + c\)
\(x_{4,2} = x_{3,2} + x_{3,3} = (b+c) + (c+d) = b + 2c + d\)

\(x_{5,1} = x_{4,1} + x_{4,2} = (a + 2b + c) + (b + 2c + d) = a + 3b + 3c + d\)

Из рисунка:
\(x_{3,1} = 17\)
\(x_{4,1} = 1977\)

Задача 1: Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.
Это \(S_2 = x_{2,1} + x_{2,2} + x_{2,3} + x_{2,4} = a+b+c+d\).

Из \(x_{3,1} = a+b = 17\).
Из \(x_{4,1} = a + 2b + c = 1977\).
Подставим \(a = 17-b\):
\((17-b) + 2b + c = 1977\)
\(17 + b + c = 1977\)
\(b + c = 1977 - 17 = 1960\).

Мы знаем, что \(x_{2,1}=3\) и \(x_{2,2}=2\) на рисунке.
Если мы примем эти значения: \(a=3, b=2\).
Тогда \(x_{3,1} = a+b = 3+2 = 5\). Но на рисунке \(x_{3,1}=17\).

Это означает, что числа 3 и 2 на рисунке НЕ являются \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\).
Наиболее вероятный вариант: числа 3 и 2 - это два числа из второго ряда, а 17 - число из третьего ряда, которое опирается на них.
Если \(x_{2,1}=3\) и \(x_{2,2}=2\), то \(x_{3,1}=5\).
Если \(x_{2,2}=3\) и \(x_{2,3}=2\), то \(x_{3,2}=5\).
Если \(x_{2,3}=3\) и \(x_{2,4}=2\), то \(x_{3,3}=5\).

Давайте предположим, что 3 и 2 - это числа на двух кирпичах второго ряда, а 17 - на кирпиче третьего ряда, который опирается на эти два кирпича.
То есть, \(x_{3,1}=17\). И \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\) - два нижних кирпича, на которых он опирается.
Значит, \(x_{2,1} + x_{2,2} = 17\).
На рисунке мы видим числа 3 и 2. Если они относятся к \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\) (в любом порядке), то \(3+2=5 \neq 17\).

Единственный логичный вывод: Числа 3 и 2 на рисунке - это не числа \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\).
Числа 3 и 2 - это два числа из второго ряда снизу, которые нам даны.
Число 17 - это одно из чисел третьего ряда снизу.
Число 1977 - это одно из чисел четвертого ряда снизу.

Пусть \(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, x_{2,4}\) - числа второго ряда.
Пусть \(x_{3,1}, x_{3,2}, x_{3,3}\) - числа третьего ряда.
Пусть \(x_{4,1}, x_{4,2}\) - числа четвертого ряда.

Мы знаем:
\(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2} = 17\)
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 1977\)

Нам также даны числа 3 и 2. Где они?
Если предположить, что 3 и 2 - это \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\) (или наоборот), то \(3+2=5\), что не равно 17.
Значит, 3 и 2 - это числа из второго ряда, но не те, которые дают в сумме 17.

Предположим, что 3 и 2 - это \(x_{2,2}\) и \(x_{2,3}\).
Тогда:
\(x_{3,2} = x_{2,2} + x_{2,3} = 3 + 2 = 5\).

Теперь используем \(x_{3,1} = 17\) и \(x_{4,1} = 1977\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2}\)
\(1977 = 17 + 5 = 22\). Это тоже противоречие.

Предположим, что 3 и 2 - это \(x_{2,1}\) и \(x_{2,3}\).
\(x_{2,1} = 3\)
\(x_{2,3} = 2\)
\(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2} = 17 \implies 3 + x_{2,2} = 17 \implies x_{2,2} = 14\).
\(x_{3,2} = x_{2,2} + x_{2,3} = 14 + 2 = 16\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 17 + 16 = 33\). Но \(x_{4,1} = 1977\). Противоречие.

Предположим, что 3 и 2 - это \(x_{2,1}\) и \(x_{2,4}\).
\(x_{2,1} = 3\)
\(x_{2,4} = 2\)
\(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2} = 17 \implies 3 + x_{2,2} = 17 \implies x_{2,2} = 14\).
\(x_{3,3} = x_{2,3} + x_{2,4} = x_{2,3} + 2\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 17 + (x_{2,2} + x_{2,3}) = 17 + (14 + x_{2,3}) = 31 + x_{2,3} = 1977\).
\(x_{2,3} = 1977 - 31 = 1946\).
Тогда \(x_{2,4} = 2\).
Проверим: \(x_{3,3} = x_{2,3} + x_{2,4} = 1946 + 2 = 1948\).
\(x_{4,2} = x_{3,2} + x_{3,3} = (14 + 1946) + 1948 = 1960 + 1948 = 3908\).
\(x_{5,1} = x_{4,1} + x_{4,2} = 1977 + 3908 = 5885\).
Второй ряд: 3, 14, 1946, 2.
Сумма второго ряда = \(3 + 14 + 1946 + 2 = 1965\).

Давайте снова посмотрим на рисунок.
На рисунке кирпичи с числами 3 и 2 расположены рядом. Это означает, что они соседние.
И 17 находится над ними.
Если \(x_{2,1}=3, x_{2,2}=2\), то \(x_{3,1}=5\). Но дано \(x_{3,1}=17\).
Наиболее вероятное предположение: Число 17 не является \(x_{3,1}\). Оно является \(x_{3,2}\) или \(x_{3,3}\).
А числа 3 и 2 - это \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\) (или наоборот).

Вариант 1: \(x_{2,1}=3, x_{2,2}=2\).
Тогда \(x_{3,1} = 3+2 = 5\).
По условию \(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 1977\).
\(5 + x_{3,2} = 1977 \implies x_{3,2} = 1972\).
\(x_{3,2} = x_{2,2} + x_{2,3} = 2 + x_{2,3} = 1972 \implies x_{2,3} = 1970\).
\(x_{2,3} = 1970\).
\(x_{2,4} = ?\)
\(x_{3,3} = x_{2,3} + x_{2,4} = 1970 + x_{2,4}\).
\(x_{4,2} = x_{3,2} + x_{3,3} = 1972 + (1970 + x_{2,4}) = 3942 + x_{2,4}\).
\(x_{5,1} = x_{4,1} + x_{4,2} = 1977 + (3942 + x_{2,4}) = 5919 + x_{2,4}\).

Мы не знаем \(x_{2,4}\).
Если на рисунке 17 - это \(x_{3,2}\), то \(x_{3,2}=17\).
\(x_{2,2} + x_{2,3} = 17\).
Если \(x_{2,1}=3, x_{2,2}=2\), то \(2+x_{2,3}=17 \implies x_{2,3}=15\).
Тогда второй ряд: 3, 2, 15, \(x_{2,4}\).
\(x_{3,1} = 3+2 = 5\).
\(x_{3,2} = 2+15 = 17\). (Совпадает с рисунком!)
\(x_{3,3} = 15 + x_{2,4}\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 5 + 17 = 22\). Но по рисунку \(x_{4,1}=1977\). Противоречие.

Давайте предположим, что числа 3 и 2 - это \(x_{2,1}\) и \(x_{2,3}\), а 17 - это \(x_{3,2}\).
\(x_{2,1}=3\)
\(x_{2,3}=2\)
\(x_{3,2} = x_{2,2} + x_{2,3} = 17 \implies x_{2,2} + 2 = 17 \implies x_{2,2} = 15\).
Второй ряд: 3, 15, 2, \(x_{2,4}\).
\(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2} = 3 + 15 = 18\).
\(x_{3,3} = x_{2,3} + x_{2,4} = 2 + x_{2,4}\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 18 + 17 = 35\). Но \(x_{4,1}=1977\). Противоречие.

Давайте предположим, что 3 и 2 - это \(x_{2,2}\) и \(x_{2,4}\), а 17 - это \(x_{3,1}\).
\(x_{2,2}=3\)
\(x_{2,4}=2\)
\(x_{3,1} = x_{2,1} + x_{2,2} = 17 \implies x_{2,1} + 3 = 17 \implies x_{2,1} = 14\).
Второй ряд: 14, 3, \(x_{2,3}\), 2.
\(x_{3,2} = x_{2,2} + x_{2,3} = 3 + x_{2,3}\).
\(x_{3,3} = x_{2,3} + x_{2,4} = x_{2,3} + 2\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 17 + (3 + x_{2,3}) = 20 + x_{2,3} = 1977\).
\(x_{2,3} = 1977 - 20 = 1957\).
Второй ряд: 14, 3, 1957, 2.
Сумма второго ряда = \(14 + 3 + 1957 + 2 = 1976\).

Проверим:
\(x_{2,1}=14, x_{2,2}=3, x_{2,3}=1957, x_{2,4}=2\).
\(x_{3,1} = 14+3 = 17\). (Совпадает с рисунком!)
\(x_{3,2} = 3+1957 = 1960\).
\(x_{3,3} = 1957+2 = 1959\).
\(x_{4,1} = x_{3,1} + x_{3,2} = 17 + 1960 = 1977\). (Совпадает с рисунком!)
\(x_{4,2} = x_{3,2} + x_{3,3} = 1960 + 1959 = 3919\).
\(x_{5,1} = x_{4,1} + x_{4,2} = 1977 + 3919 = 5896\).

Эта интерпретация подходит! Числа 3 и 2 на рисунке - это \(x_{2,2}\) и \(x_{2,4}\). Число 17 - это \(x_{3,1}\). Число 1977 - это \(x_{4,1}\).

1. Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.
Второй ряд: \(x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, x_{2,4}\).
Мы нашли: \(x_{2,1}=14, x_{2,2}=3, x_{2,3}=1957, x_{2,4}=2\).
Сумма = \(14 + 3 + 1957 + 2 = 1976\).

2. Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.
Нижний ряд (первый снизу): \(x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, x_{1,4}, x_{1,5}\).
У нас есть:
\(x_{2,1} = x_{1,1} + x_{1,2} = 14\)
\(x_{2,2} = x_{1,2} + x_{1,3} = 3\)
\(x_{2,3} = x_{1,3} + x_{1,4} = 1957\)
\(x_{2,4} = x_{1,4} + x_{1,5} = 2\)

Нам нужно найти сумму \(S_1 = x_{1,1} + x_{1,2} + x_{1,3} + x_{1,4} + x_{1,5}\).
Из уравнений:
\(x_{1,1} = 14 - x_{1,2}\)
\(x_{1,3} = 3 - x_{1,2}\)
\(x_{1,4} = 1957 - x_{1,3} = 1957 - (3 - x_{1,2}) = 1954 + x_{1,2}\)
\(x_{1,5} = 2 - x_{1,4} = 2 - (1954 + x_{1,2}) = -1952 - x_{1,2}\)

Сумма \(S_1 = (14 - x_{1,2}) + x_{1,2} + (3 - x_{1,2}) + (1954 + x_{1,2}) + (-1952 - x_{1,2})\)
\(S_1 = 14 - x_{1,2} + x_{1,2} + 3 - x_{1,2} + 1954 + x_{1,2} - 1952 - x_{1,2}\)
\(S_1 = (14 + 3 + 1954 - 1952) + (-x_{1,2} + x_{1,2} - x_{1,2} + x_{1,2} - x_{1,2})\)
\(S_1 = (17 + 2) - x_{1,2} = 19 - x_{1,2}\).

Нам нужно найти \(x_{1,2}\).
Мы не можем найти \(x_{1,2}\) из этих уравнений, так как у нас 5 неизвестных (\(x_{1,1}\) до \(x_{1,5}\)) и только 4 уравнения.
Однако, сумма \(S_1\) может быть найдена иначе.

Сумма всех чисел в нижнем ряду: \(S_1 = x_{1,1} + x_{1,2} + x_{1,3} + x_{1,4} + x_{1,5}\).
Сумма чисел во втором ряду: \(S_2 = x_{2,1} + x_{2,2} + x_{2,3} + x_{2,4}\).
\(S_2 = (x_{1,1}+x_{1,2}) + (x_{1,2}+x_{1,3}) + (x_{1,3}+x_{1,4}) + (x_{1,4}+x_{1,5})\)
\(S_2 = x_{1,1} + 2x_{1,2} + 2x_{1,3} + 2x_{1,4} + x_{1,5}\).

Это не похоже на \(S_1\).

Другой подход к сумме нижнего ряда:
Заметим, что \(x_{1,1}\) входит в \(x_{2,1}\), \(x_{1,2}\) входит в \(x_{2,1}\) и \(x_{2,2}\), \(x_{1,3}\) входит в \(x_{2,2}\) и \(x_{2,3}\), \(x_{1,4}\) входит в \(x_{2,3}\) и \(x_{2,4}\), \(x_{1,5}\) входит в \(x_{2,4}\).
\(S_2 = x_{2,1} + x_{2,2} + x_{2,3} + x_{2,4}\)
\(S_2 = (x_{1,1} + x_{1,2}) + (x_{1,2} + x_{1,3}) + (x_{1,3} + x_{1,4}) + (x_{1,4} + x_{1,5})\)
\(S_2 = x_{1,1} + 2x_{1,2} + 2x_{1,3} + 2x_{1,4} + x_{1,5}\).

Мы ищем \(S_1 = x_{1,1} + x_{1,2} + x_{1,3} + x_{1,4} + x_{1,5}\).

Есть свойство, что сумма чисел в ряду \(k\) (снизу) связана с суммой чисел в ряду \(k+1\).
Сумма всех чисел в пирамиде: \(S_{total} = \sum_{i=1}^{5} S_i\), где \(S_i\) - сумма чисел в \(i\)-м ряду.

Рассмотрим еще раз:
\(x_{2,1} = x_{1,1} + x_{1,2} = 14\)
\(x_{2,2} = x_{1,2} + x_{1,3} = 3\)
\(x_{2,3} = x_{1,3} + x_{1,4} = 1957\)
\(x_{2,4} = x_{1,4} + x_{1,5} = 2\)

Сумма \(S_1 = x_{1,1} + x_{1,2} + x_{1,3} + x_{1,4} + x_{1,5}\).
Из \(x_{2,1} = x_{1,1} + x_{1,2}\), имеем \(x_{1,1} = x_{2,1} - x_{1,2}\).
Из \(x_{2,2} = x_{1,2} + x_{1,3}\), имеем \(x_{1,3} = x_{2,2} - x_{1,2}\).
Из \(x_{2,3} = x_{1,3} + x_{1,4}\), имеем \(x_{1,4} = x_{2,3} - x_{1,3} = x_{2,3} - (x_{2,2} - x_{1,2}) = x_{2,3} - x_{2,2} + x_{1,2}\).
Из \(x_{2,4} = x_{1,4} + x_{1,5}\), имеем \(x_{1,5} = x_{2,4} - x_{1,4} = x_{2,4} - (x_{2,3} - x_{2,2} + x_{1,2}) = x_{2,4} - x_{2,3} + x_{2,2} - x_{1,2}\).

Подставим в \(S_1\):
\(S_1 = (x_{2,1} - x_{1,2}) + x_{1,2} + (x_{2,2} - x_{1,2}) + (x_{2,3} - x_{2,2} + x_{1,2}) + (x_{2,4} - x_{2,3} + x_{2,2} - x_{1,2})\)

\(S_1 = x_{2,1} - x_{1,2} + x_{1,2} + x_{2,2} - x_{1,2} + x_{2,3} - x_{2,2} + x_{1,2} + x_{2,4} - x_{2,3} + x_{2,2} - x_{1,2}\)

Сгруппируем:
$S_1 = x_{2,1} + (x_{2,2} - x_{2,2} + x_{2,2}) + (x_{2,3} - x_{2,3}) + x_{2,4} + (-x_{1,2} + x_{1,2} - x_{1,2} + x_{1,2