Решение систем линейных уравнений методом Крамера и геометрия треугольника

Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 1

Решим систему уравнений, используя формулы Крамера:

\(\begin{cases} 2x - y - z = 4 \\ 3x + 4y - 2z = 11 \\ 3x - 2y + 4z = 11 \end{cases}\)

1. Вычислим главный определитель системы:

\(\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 2(16 - 4) - (-1)(12 + 6) + (-1)(-6 - 12) = 2(12) + 18 + 18 = 24 + 18 + 18 = 60\)

2. Вычислим определитель для x:

\(\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & -2 \\ 11 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 4(16 - 4) - (-1)(44 + 22) + (-1)(-22 - 44) = 4(12) + 66 + 66 = 48 + 66 + 66 = 180\)

3. Вычислим определитель для y:

\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 3 & 11 & -2 \\ 3 & 11 & 4 \end{vmatrix} = 2(44 + 22) - 4(12 + 6) + (-1)(33 - 33) = 2(66) - 4(18) + 0 = 132 - 72 = 60\)

4. Вычислим определитель для z:

\(\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 11 \\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix} = 2(44 + 22) - (-1)(33 - 33) + 4(-6 - 12) = 2(66) + 0 + 4(-18) = 132 - 72 = 60\)

5. Найдем значения x, y, z:

\(x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{180}{60} = 3\)

\(y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1\)

\(z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1\)

Ответ: \(x = 3, y = 1, z = 1\)

Задание 2

Решим систему уравнений, используя формулы Крамера:

\(\begin{cases} x + y + 2z = -1 \\ 2x - y + 2z = -4 \\ 4x + y + 4z = -2 \end{cases}\)

1. Вычислим главный определитель системы:

\(\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - 2) - 1(8 - 8) + 2(2 + 4) = -6 - 0 + 12 = 6\)

2. Вычислим определитель для x:

\(\Delta_x = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -4 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -1(-4 - 2) - 1(-16 + 4) + 2(-4 - 2) = 6 + 12 - 12 = 6\)

3. Вычислим определитель для y:

\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 1(-16 + 4) - (-1)(8 - 8) + 2(-4 + 16) = -12 + 0 + 24 = 12\)

4. Вычислим определитель для z:

\(\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -4 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 1(2 + 4) - 1(-4 + 16) + (-1)(2 + 4) = 6 - 12 - 6 = -12\)

5. Найдем значения x, y, z:

\(x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{6}{6} = 1\)

\(y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{12}{6} = 2\)

\(z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-12}{6} = -2\)

Ответ: \(x = 1, y = 2, z = -2\)

Задание 3

Даны вершины треугольника \(ABC\): \(A(-6; 1)\), \(B(6; 10)\), \(C(4; -4)\).

a. Длина стороны AB:

Используем формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(AB = \sqrt{(6 - (-6))^2 + (10 - 1)^2} = \sqrt{(12)^2 + (9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\)

Ответ: \(AB = 15\)