Задача 8

Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша — блокнот и 6 карандашей, Вася — блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Решение:

Обозначим стоимость одного блокнота за $x$ рублей, а стоимость одного карандаша — 3 копейки или $0.03$ рубля.

Составим уравнения для сумм, которые заплатил каждый мальчик:

1. Алик заплатил: $2x + 4 \cdot 0.03 = 2x + 0.12$ рублей
2. Миша заплатил: $x + 6 \cdot 0.03 = x + 0.18$ рублей
3. Вася заплатил: $x + 3 \cdot 0.03 = x + 0.09$ рублей

По условию, эти суммы образуют геометрическую прогрессию. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

Нам нужно определить, в каком порядке идут члены прогрессии. Проверим все возможные варианты.

Вариант 1: Алик, Миша, Вася
Если $2x + 0.12$, $x + 0.18$, $x + 0.09$ образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
$(x + 0.18)^2 = (2x + 0.12) \cdot (x + 0.09)$

Вариант 2: Алик, Вася, Миша
Если $2x + 0.12$, $x + 0.09$, $x + 0.18$ образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
$(x + 0.09)^2 = (2x + 0.12) \cdot (x + 0.18)$

Вариант 3: Миша, Алик, Вася
Если $x + 0.18$, $2x + 0.12$, $x + 0.09$ образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
$(2x + 0.12)^2 = (x + 0.18) \cdot (x + 0.09)$

Вариант 4: Миша, Вася, Алик
Если $x + 0.18$, $x + 0.09$, $2x + 0.12$ образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
$(x + 0.09)^2 = (x + 0.18) \cdot (2x + 0.12)$

Вариант 5: Вася, Алик, Миша
Если $x + 0.09$, $2x + 0.12$, $x + 0.18$ образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
$(2x + 0.12)^2 = (x + 0.09) \cdot (x + 0.18)$

Вариант 6: Вася, Миша, Алик
Если $x + 0.09$, $x + 0.18$, $2x + 0.12$ образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
$(x + 0.18)^2 = (x + 0.09) \cdot (2x + 0.12)$

Проверим вариант 6:
$(x + 0.18)^2 = (x + 0.09) \cdot (2x + 0.12)$
$x^2 + 0.36x + 0.0324 = 2x^2 + 0.12x + 0.18x + 0.0108$
$x^2 + 0.36x + 0.0324 = 2x^2 + 0.3x + 0.0108$
$x^2 - 2x^2 + 0.36x - 0.3x + 0.0324 - 0.0108 = 0$
$-x^2 + 0.06x + 0.0216 = 0$
$x^2 - 0.06x - 0.0216 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$x = \frac{0.06 \pm \sqrt{0.06^2 + 4 \cdot 0.0216}}{2} = \frac{0.06 \pm \sqrt{0.0036 + 0.0864}}{2} = \frac{0.06 \pm \sqrt{0.09}}{2} = \frac{0.06 \pm 0.3}{2}$

$x_1 = \frac{0.06 + 0.3}{2} = \frac{0.36}{2} = 0.18$
$x_2 = \frac{0.06 - 0.3}{2} = \frac{-0.24}{2} = -0.12$

Поскольку стоимость блокнота не может быть отрицательной, $x = 0.18$ рублей или 18 копеек.

Проверим, действительно ли суммы образуют геометрическую прогрессию при $x = 0.18$:

Вася заплатил: $0.18 + 0.09 = 0.27$ рублей
Миша заплатил: $0.18 + 0.18 = 0.36$ рублей
Алик заплатил: $2 \cdot 0.18 + 0.12 = 0.36 + 0.12 = 0.48$ рублей

Проверяем: $\frac{0.36}{0.27} = \frac{0.48}{0.36} = \frac{4}{3}$

Действительно, $0.27$, $0.36$, $0.48$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{4}{3}$.

Ответ: блокнот стоит 18 копеек.

Задача 9

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0.21. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение:

В данной задаче нам известно, что вероятность того, что ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0.21 или 21%.

Обозначим события:
- A: ручка пишет плохо (или не пишет)
- B: ручка пишет хорошо

События A и B являются противоположными, то есть они образуют полную группу событий. Это означает, что сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(B) = 1$

Из условия известно, что $P(A) = 0.21$

Тогда вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна:

$P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.21 = 0.79$

Таким образом, вероятность того, что выбранная ручка пишет хорошо, равна 0.79 или 79%.

Ответ: 0.79