Решение задачи на геометрическую прогрессию: стоимость блокнота и карандашей

Задача 8

Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша — блокнот и 6 карандашей, Вася — блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Решение:

Обозначим стоимость одного блокнота за \(x\) рублей, а стоимость одного карандаша — 3 копейки или \(0.03\) рубля.

Составим уравнения для сумм, которые заплатил каждый мальчик:

1. Алик заплатил: \(2x + 4 \cdot 0.03 = 2x + 0.12\) рублей
2. Миша заплатил: \(x + 6 \cdot 0.03 = x + 0.18\) рублей
3. Вася заплатил: \(x + 3 \cdot 0.03 = x + 0.09\) рублей

По условию, эти суммы образуют геометрическую прогрессию. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

Нам нужно определить, в каком порядке идут члены прогрессии. Проверим все возможные варианты.

Вариант 1: Алик, Миша, Вася
Если \(2x + 0.12\), \(x + 0.18\), \(x + 0.09\) образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
\((x + 0.18)^2 = (2x + 0.12) \cdot (x + 0.09)\)

Вариант 2: Алик, Вася, Миша
Если \(2x + 0.12\), \(x + 0.09\), \(x + 0.18\) образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
\((x + 0.09)^2 = (2x + 0.12) \cdot (x + 0.18)\)

Вариант 3: Миша, Алик, Вася
Если \(x + 0.18\), \(2x + 0.12\), \(x + 0.09\) образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
\((2x + 0.12)^2 = (x + 0.18) \cdot (x + 0.09)\)

Вариант 4: Миша, Вася, Алик
Если \(x + 0.18\), \(x + 0.09\), \(2x + 0.12\) образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
\((x + 0.09)^2 = (x + 0.18) \cdot (2x + 0.12)\)

Вариант 5: Вася, Алик, Миша
Если \(x + 0.09\), \(2x + 0.12\), \(x + 0.18\) образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
\((2x + 0.12)^2 = (x + 0.09) \cdot (x + 0.18)\)

Вариант 6: Вася, Миша, Алик
Если \(x + 0.09\), \(x + 0.18\), \(2x + 0.12\) образуют геометрическую прогрессию, то должно выполняться:
\((x + 0.18)^2 = (x + 0.09) \cdot (2x + 0.12)\)

Проверим вариант 6:
\((x + 0.18)^2 = (x + 0.09) \cdot (2x + 0.12)\)
\(x^2 + 0.36x + 0.0324 = 2x^2 + 0.12x + 0.18x + 0.0108\)
\(x^2 + 0.36x + 0.0324 = 2x^2 + 0.3x + 0.0108\)
\(x^2 - 2x^2 + 0.36x - 0.3x + 0.0324 - 0.0108 = 0\)
\(-x^2 + 0.06x + 0.0216 = 0\)
\(x^2 - 0.06x - 0.0216 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:
\(x = \frac{0.06 \pm \sqrt{0.06^2 + 4 \cdot 0.0216}}{2} = \frac{0.06 \pm \sqrt{0.0036 + 0.0864}}{2} = \frac{0.06 \pm \sqrt{0.09}}{2} = \frac{0.06 \pm 0.3}{2}\)

\(x_1 = \frac{0.06 + 0.3}{2} = \frac{0.36}{2} = 0.18\)
\(x_2 = \frac{0.06 - 0.3}{2} = \frac{-0.24}{2} = -0.12\)

Поскольку стоимость блокнота не может быть отрицательной, \(x = 0.18\) рублей или 18 копеек.

Проверим, действительно ли суммы образуют геометрическую прогрессию при \(x = 0.18\):

Вася заплатил: \(0.18 + 0.09 = 0.27\) рублей
Миша заплатил: \(0.18 + 0.18 = 0.36\) рублей
Алик заплатил: \(2 \cdot 0.18 + 0.12 = 0.36 + 0.12 = 0.48\) рублей

Проверяем: \(\frac{0.36}{0.27} = \frac{0.48}{0.36} = \frac{4}{3}\)

Действительно, \(0.27\), \(0.36\), \(0.48\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \frac{4}{3}\).

Ответ: блокнот стоит 18 копеек.

Задача 9

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0.21. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение:

В данной задаче нам известно, что вероятность того, что ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0.21 или 21%.

Обозначим события:
- A: ручка пишет плохо (или не пишет)
- B: ручка пишет хорошо

События A и B являются противоположными, то есть они образуют полную группу событий. Это означает, что сумма их вероятностей равна 1:

\(P(A) + P(B) = 1\)

Из условия известно, что \(P(A) = 0.21\)

Тогда вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна:

\(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.21 = 0.79\)

Таким образом, вероятность того, что выбранная ручка пишет хорошо, равна 0.79 или 79%.

Ответ: 0.79