Решение задачи на нахождение смежных углов

Язык задания: Russian.

Задание 1

Условие:

Дано: \(\alpha - \beta = 30^\circ\).
Найти: \(\alpha\), \(\beta\).

Решение:

Из рисунка видно, что углы \(\alpha\) и \(\beta\) являются смежными. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Следовательно, мы имеем систему уравнений:

1. \(\alpha - \beta = 30^\circ\)
2. \(\alpha + \beta = 180^\circ\)

Решим эту систему уравнений. Сложим первое и второе уравнения:

\((\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 30^\circ + 180^\circ\)
\(2\alpha = 210^\circ\)
\(\alpha = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ\)

Теперь подставим значение \(\alpha\) во второе уравнение:

\(105^\circ + \beta = 180^\circ\)
\(\beta = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\)

Ответ:

\(\alpha = 105^\circ\), \(\beta = 75^\circ\).

Задание 2

Условие:

Дано: \(\angle NMO : \angle LMN = 1:3\).
Найти: \(\angle NMO\), \(\angle LMN\), \(\angle RMO\), \(\angle LMR\).

Решение:

Пусть \(\angle NMO = x\), тогда \(\angle LMN = 3x\).

1. Углы \(\angle NMO\) и \(\angle LMN\) являются смежными, поэтому их сумма равна \(180^\circ\).
   \(x + 3x = 180^\circ\)
   \(4x = 180^\circ\)
   \(x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ\)

Следовательно, \(\angle NMO = 45^\circ\) и \(\angle LMN = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ\).

2. Углы \(\angle NMO\) и \(\angle LMR\) являются вертикальными, поэтому они равны.
   \(\angle LMR = \angle NMO = 45^\circ\)

3. Углы \(\angle LMN\) и \(\angle RMO\) являются вертикальными, поэтому они равны.
   \(\angle RMO = \angle LMN = 135^\circ\)

Ответ:

\(\angle NMO = 45^\circ\), \(\angle LMN = 135^\circ\), \(\angle RMO = 135^\circ\), \(\angle LMR = 45^\circ\).